37.7. Нули функции. Особые точки
Нули функции. Рассмотрим функциюАналитическую в точке
Точка
называется нулем функции
Порядка (или кратности)
Когда выполняются условия:
(37.47)
ЕслиТо точка
Называется простым нулем.
ЗначениеТогда и только тогда является нулем и-го порядка функции f(z), аналитической в точке
Когда в некоторой ее окрестности верно равенство
(37.48)
Где- функция, аналитическая в точке
И
Особые точки. Особой точкой функцииНазывается точка
В которой эта функция не является аналитической. Точка
Называется изолированной особой точкой функции
, когда существует окрестность этой точки, в которой
Аналитическая всюду, кроме
. Особая точка
Функции
Называется устранимой, когда существует конечный предел этой функции в данной точке:
Точка
Называется полюсом функции
Когда
Для того, чтобы точкаБыла полюсом функции
Необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем. функции
(37.49)
ТочкуНазывают полюсом порядка
Функции
, когда эта
Точка является нулем порядкаДля функции
В случае
Полюс называют простым.
Для того, чтобы точкаЯвлялась полюсом порядка
Функции
, необходимо и достаточно, чтобы функцию
Можно было привести к виду
(37.50)
Где- функция, аналитическая в точке
И
ТочкаНазывается существенно особой точкой функции
Когда в ней
ФункцияНе имеет ни конечного ни бесконечного предела.
Справедливы следующие утверждения.
1. ТочкаЯвляется устранимой особой точкой функции
Тогда и только тогда, когда ее лорановское разложение в окрестности точки
Не содержит главной части.
2. ТочкаЯвляется полюсом функции
Тогда и только тогда, когда главная часть ее лорановского разложения в окрестности точки
Содержит только конечное число членов:
(37.51)
Наибольший из показателей степени разностиВ знаменателях
Совпадает с порядком полюса.
3. ТочкаЯвляется существенно особой точкой функции
Тогда и только тогда, когда главная часть ее лорановского разложения в окрестности точки
Содержит бесконечное множество членов.
Пример 37.31. Доказать, что точкаЯвляется нулем второго по
Рядка для функции
Разложим в ряды данную функцию и ее первую и вторую производные:
ПосколькуТ. е. выполняются условия (37.47)
При, то
— нуль второго порядка для функции
Пример 37.32. Найти порядок нуляДля функции
Использовав разложение функцииВ ряд Тейлора, получим
Таким образом, функция _. j записана в виде (37.48), где
- функция, аналитическая в точке
Причем
Значит, точка
- нуль
Четвертого порядка для данной функции.
Пример 37.33. Найти нули функцииИ определить их порядки.
КогдаИли
То
Либо
Из первого
Равенства следует, чтоА со второго, что
ПустьТогда функцию
Можно представить в виде (37.48):
Где функция
Является аналитической в
ТочкеПричем
Значит, точка
Есть нуль
Третьего порядка. Аналогично доказывается, что—нуль третьего порядка. Функция
Имеет нули
Действительно,
Это нули первого порядка для функцииНо
Ибо
Пример 37.34. Доказать, что точкаДля функции
Является устранимой особой точкой.
Действительно, поскольку
То
— устранимая особая точка.
Пример 37.35. Найти полюсы функции
Так как для функцииТочки
-
Нули первого порядка,—нули второго порядка, то для функции
Точки
— полюсы первого порядка, точки
- полюсы второго порядка.
Замечание. Если, где
И
- многочлены,
Не имеющие общих корней, то корни многочлена(и только они) являются полюсами функции
Порядок полюсов
Совпадает с кратностью соот
Ветствующих корней многочленаНапример, когда
То- простой полюс,
— полюс второго порядка,
- полюс третьего порядка Пример 37.36. Исследовать особые точки функции
Поскольку
То функция имеет особые точкиИсследуем точку
Функцию
Приведем к виду (37.50):
Где- функция, аналитическая в окрестности точки
Причем
Следовательно, точка
Является полюсом второго порядка. Аналогично, записав функцию
В виде
Заключаем, что- простой полюс данной функции.
Пример 37.37. Найти особые точки функцииИ опреде
Лить их типы.
Принимая во внимание, что (см. (37.3))
ПриПолучим
Этот ряд сходится всюду, кроме точкиЕго можно рассматривать как
Разложение функцииВ ряд Лорана в окрестности точки
Поскольку
Главная часть ряда имеет бесконечное множество членов, то точка является существенно особой точкой для функции
< Предыдущая | Следующая > |
---|