29.09. Полилинейные функции векторного аргумента. Понятие тензора
Если каждому векторуИз
Поставлено в соответствие число
так, что для любых векторов
И
Из
И для
Любого числаТо
Называют линейной функцией
Или линейной формой.
ОбозначаяКоординаты вектора
В базисе
Получаем
ЧислаНазывают коэффициентами линей
Ной формы. Линейную форму считают заданной, если в некотором базисе заданы ее коэффициенты.
Если любым векторамИз
Поставлено в соответствие число
Так, что
— функция линейная относитель
Но всех своих аргументов, тоНазывают полилинейной функцией
Или полилинейной формой.
В этом случае при
ЧислаНазывают коэффициентами полилинейной
Формы. Всего их. При
Форму называют билинейной.
В тензорном исчислении принято соглашение о суммировании: если в некотором одночленном выражении одинаковый буквенный индекс встречается
Дважды - один раз вверху и один раз внизу, то это означает сумму выражений этого рода для значений индексаНапример,
Обозначение индексов суммирования не играет роли:
Если вВыбраны два базиса
(29.12)
И
(29.13)
То каждый вектор системы (29.13) можно разложить по базису (29.12):
(29.14)
Матрица перехода от базиса (29.12) к базису (29.13) имеет вид
(29.15)
Матрица перехода от базиса (29.13) к базису (29.12) является обратной матрице (29.15):
(29.16)
Учитывая соглашение о суммировании, формулы (29.14) можно записать в виде
(29.17)
Аналогично, учитывая матрицу (29.16) и соглашение о суммировании, получаем
Преобразования, в которых участвуют элементы матрицы (29.15), называют ковариантными (сопреобразующимися, изменяющимися так же). Преобразования, с участием элементов матрицы (29.16), называют контравариантными (противопреобразукмцимися).
Ковариантным тензором ранга(тензором типа
Или
) называется величина, которая в каждом базисе векторного пространства
Задается
Упорядоченными системами чисел
В базисе (29.12) и
В базисе (29.13)). которые при переходе от базиса (29.12) к базису (29.13) преобразуются по закону
(29.19)
- элементы матрицы (29.15). Ранг тензора называют также валентностью. Пусть
- линейная форма порядка
С коэффициентами
(В базисе (29.12) и
В базисе (29.13). Учитывая определение коэф
Фициентов полилинейной формы, соотношение (29.17) и свойства линейности, можно получить
Таким образом, линейная форма порядкаЯвляется ковариантным тензором типа
Удобно считать, что и тензор типа
Является линейной формой порядка
Контравариантным тензором ранга(тензором типа
Или
) называется
Величина, которая в каждом базисе-векторного пространстваЗадается
Упорядоченными системами чисел
В базисе (29.12) и
В базисе (29.13)), которые при переходе от базиса (29.12) к базису (29.13) преобразуются по закону
(29.20)
- элементы матрицы (29.16).
ЕслиКоординаты вектора
В базисе (29.12),
-в
Базисе (29.13), тоСледовательно,
Приравнивая координаты при, получаем
Таким образом, вектор - это контравариантный тензор, т. е. тензор типа Наоборот, тензор типа
Можно рассматривать как вектор.
ЧислаНазывают контравариантными координатами вектора.
Тензором типа(
Раз ковариангным и
Раз контравариантным) называется величина, которая в каждом базисе векторного пространства
Задается
Упорядоченными системами чисел (
В базисе (29.12) и
В базисе (29.13)), которые при переходе от базиса (29.12) к базису (29.13) преобразуется по закону
- элементы матриц (29.15) и (29.16). Числа
Называют координатами
Тензора в базисе (29.12),- координатами тензора в базисе (29.13).
< Предыдущая | Следующая > |
---|