26.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Если в уравнении (26.7), то оно называется неоднородным диффе

Ренциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами; это уравнение может быть приведено к виду

(26.13)

Общее решение уравнения (26.13) определяется формулой

(26.14)

Где— общее решение соответствующего однородного уравнения

А- частное решение уравнения (26.13).

В простейших случаях, когда функция, входящая в уравнение (26.13),

Является показательной или многочленом, указанное частное решение находится с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Если

(26.15)

Где- постоянные, то частное решение уравнения (26.13) ищут в виде

(26.16)

КогдаНе является корнем характеристического уравнения или в виде , когда— простой корень характеристического уравнения, или .когда- кратный корень указанного уравнения.

ВидеКогда

Если, где- многочлен степениТо частное решение

Уравнения (26.13) ищут в видеВ случае, когдаИ в виде

КогдаГде— многочлен степени.

Пусть дано неоднородное уравнение

(26.17)

Правая часть которого есть сумма двух функцийЕслиЯвляется

Частным решением уравнения, а— частным решением

Уравнения- частное решение уравнения (26.17).

Пример 26.8. Проинтегрировать уравнение Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнениеИмеет корни

Следовательно, общее решение однородного уравнения

Определяется формулой

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения. Так как в данном случае(т. е. имеет вид (26.15):, где иНе является корнем характеристического уравнения, то в соответствии с формулой (26.16) ищем частное решение в видеНаходя производные этой функцииИ подставляя выражения дляВ исходное уравнение, получаемТак как-решение уравнения, то последнее равенство выполняется для всехТ. е. является тождеством:, откудаСледовательно, частное решение имеет видНа основании формулы (26.14) получаем общее решение

Пример 26.9. Найти общее решение уравнения  Правая часть данного уравнения является полиномом второй степени

Так какТо частное решение ищем в видеПодставляя вы

Ражения дляВ данное уравнение, получаем

, или

Поскольку у, - решение дифференциального уравнения, то последнее равенство должно выполняться при всех х, т. е. являться тождеством, поэтому коэффи-

Циенты при одинаковых степенях х, стоящие в разных частях, равны между собой:

Из полученной системы уравнений находим, чтоПо

Этому jОбщее решение соответствующего однородного уравне

НияОпределяется формулой,^так как. характе

Ристическое уравнениеИмеет корни

На основании формулы (26.14) получаем общее решение

Пример 26.10. Проинтегрировать уравнение

Это уравнение вида (26.13), гдеПричем

. Частное решение данного уравнения ищем в виде тогдаПодставив эти

Выражения в исходное уравнение, получим тождество

ИлиОткуда

(Решив последнюю систему уравнений, найдем, что

Следовательно,

Общее решение соответствующего однородного уравнения определяется формулой(см. (26.12)), так как характе

Ристическое уравнениеИмеет комплексные корни

На основании формулы (26.14) получаем общее решение

Пример 26.11. Проинтегрировать уравнение Соответствующее однородное уравнениеИмеет общее решение

(получено по формуле (26.10), ибо- различные

Действительные корни характеристического уравненияИсходное

Уравнение является уравнением вида (26.13), где функцияОпределяется формулой (26.15), причем- корень характеристического уравнения.

Частное решение данного неоднородного уравнения в этом случае следует искать в видеТак как, то подстановка выражения для.в исходное уравнение приводит к тождествуИли, откудаТаким образом,

Глава 27

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

< Предыдущая		Следующая >