26.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

(26.7)

Где- постоянныеНазывается дифференциальным уравнением

Второго порядка с постоянными коэффициентами.

ЕслиТо уравнение (26.7) называется линейным однородным диффе

Ренциальным уравнением с постоянными коэффициентами или уравнением без правой части:

Последнее уравнение можно привести к виду

(26.8)

Уравнение

(26.9)

Называется характеристическим уравнением для уравнения (26.8).

В зависимости от корнейИХарактеристического уравнения (26.9) получаем общее решение уравнения (26.8) в виде

(26.10)

Если корни действительны и различны;

(26.11)

Если корни действительны и равны;

(26.12)

Если- комплексные числа.

Пример 26.4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение Найти частное решение, удовлетворяющее условиям:

При

Характеристическое уравнение (26.9) для данного уравнения принимает вид Так какТо общее решение в соответствии с

(26.10) определяется формулой

(1)

Чтобы найти указанное частное решение, подставим начальные данные х = 0, В выражения дляИ , Из этой системы находим При этих значенияхИФункция (1) принимает видИтак,

— искомое частное решение.

Пример 26.5. Проинтегрировать уравнение

Характеристическое уравнениеИмеет два равных корня

Общее решение данного дифференциального уравнения в соответствии с (26.11) определяется формулой

П р^и м е р 26.6. Найти общее решение уравнения

Характеристическое уравнениеИмеет комплексные корни

Общее решение определяется формулой (26.12), в которой

Нужно положить I Пример 26.7. Решить уравнение Характеристическое уравнениеИмеет чисто мнимые корни

Пользуясь формулой (26.12), полагая в ней получаем общее решение

< Предыдущая		Следующая >