24.4. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Если функцияРазлагается в степенной ряд

В некоторой окрестности точки а, т. е. в интервале), то коэффициенты

Этого ряда определяются по формулам

(24.19)

Следовательно,

(24.20)

Ряд, стоящий в правой части формулы (24.20), называется рядом Тейлора для функции

Равенство (24.20) выполняется (ряд Тейлора сходится кВ интервале I, если остаток ряда Тейлора

Стремится к нулю при неограниченном возрастании и:

При всех х из интервала

Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Если функция f(x) бесконечно дифференцируема в интервалеИ ее производные

Равномерно ограничены в этом интервале, т. е. существует такое положительное число С (не зависящее от), что

При всехИз, то верно равенство (24.20) во всем интервале

Формула (24.20) в частном случае приОпределяет разложение функции в ряд Маклорена:

(24.21)

.При разложении функций в степенные ряды часто используется формула

(24.10) и разложения в ряд Маклорена следующих функций:

Пример 24.15. Разложить в ряд по степеням х функцию Воспользуемся разложением (24.10). В формуле ЗапишемВместо

Таким образом, получено следующее разложение данной функции в степенной рад:

(24.22)

Этот ряд сходится при

Замечание. Формулу (24.22) можно получить и другим путем. Рад Является геометрическим рядом со знаменателем

; он сходится при, его сумма(получено по формуле

Пример 24.16. Разложить в ряд по степеням х функцию В формуле (24.22) вместо х запишем

Полученный ряд

Замечание. Этот пример можно решить и другим способом. Так как

То в соответствии с разложениями (24.10) и (24.22) по определению суммы степенных рядов (формула (24.13)) получаем

Пример 24.17. Разложить в ряд по степенямФункцию Преобразуем данную функцию следующим образом:

Введем новую переменнуюПолагаяВоспользуемся разложением

(24.10), записывая в немВместо

(1)

Или

Ряд (1) сходится приТ. е. при, илиА ряд (2) сходит

Ся приИли при

Пример 24.18. Разложить в ряд по степенямФункцию 1 Разлагая данную функцию в сумму элементарных дробей, получаем Так как

(3)

То по формуле (24.13) находим

Ряд (3) сходится при, ряд (4) сходится при, поэтому ряд (5) также

Сходится при, т. е. в интервале

Пример 24.19. Найти разложение в степенной ряд функции С помощью степенного ряда для Прежде всего напишем степенной ряд для функции, записывая в формуле (24.10)Вместо, получаем