23.1. Основные понятия. Необходимый признак сходимости
Рядом называется выражение вида

Где- последовательность чисел или функций. Слагаемые
Называются членами ряда. Если все члены ряда являются числами, то ряд называется числовым., если члены ряда — функции, то ряд называется функциональным.
Рассмотрим числовой ряд

(23.1)

Ряд (23.1) задан, если известен его общий член , т. е. известно правило,
По которому каждому номеруСтавится в соответствие вполне
Определенный член ряда.
Суммой конечного числа п первых членов ряда называется его п-й частичной суммой:

Конечный или бесконечный предел частичной суммы приНазывается
Суммой ряда:

Ряд, имеющий конечную сумму, называется сходящимся. Если ряд (23.1) сходится и его сумма равна, то используют запись

Если предел частичной суммы не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Ряд, члены которого неотрицательны, называется положительным. Положительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следовательно, ряд
- сходящимся), если его частичные суммы ограничены сверху, и бесконечной (а ряд - расходящимся), если суммы сверху не ограничены.
Если в ряде (23.1) отбросить первые т членов, то получится ряд
Называемый остатком ряда (23.1) после-го члена.
Теорема 23.1. Если сходится ряд (23.1), то сходится и любой из его остатков (23.2); обратно, их сходимости остатка (23.2) вытекает сходимость исходного ряда (23.1).
Теорема 23.2. Если ряд (23.1) сходится, то суммаЕго остатка (23.2) после т-го члена с возрастанием т стремится к нулю:
Теорема 23.3 (необходимый признак сходимости). Если ряд (23.1) сходится, то его общий член стремится к нулю, те.
(23.3)
Следствие. Если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд расходится. Примеры числовых рядов: геометрический ряд

(23.4)
Гармонический ряд
(23.5)


Отметим, что геометрический ряд сходится тогда и только тогда, когда ;
Его сумма определяется формулой; гармонический ряд расходится.
Замечание. Условие (23.3) не является достаточным для сходимости ряда (23.1).
Пример 23.1. Найти сумму ряда

Где- постоянная
СоставимЮ сумму данного ряда:

Чтобы упростить выражение для, преобразуем формулу общего члена ряда, разлагая
На элементарные дроби. Положим

Отсюда
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхВ числителях обеих частей равенства, получаем
, откуда
, поэтому
Выражение для принимает вид


Приводя подобные члены и переходя к пределу, получаем Следовательно,
Замечание. В частных случаях приПо этой
Формуле получаем соответственно:
Г
Пример 23.2. Найти сумму ряда
Разложив общий член
На элементарные дроби, получим

В частном случае приНаходим
Пример 23.3. Найти сумму ряда Разлагая общий член ряда на элементарные дроби, получаем
Составим п-ю частичную сумму данного ряда и преобразуем ее:

Следовательно,


Составляя-ю частную сумму и преобразуя ее, находим

Следовательно,
В частности, приИз последней формулы находим
Л.
Пример 23.4. Выяснить, сходится или расходится ряд

Переходя к пределу, получаем

Общий член ряда выражается формулойТак как
Т. е. общий член к нулю не стремится, то на
Основании следствия из необходимого признака заключаем, что данный ряд расходится.
Пример 23.5. Исследовать, сходится или расходится ряд
Общий член ряда определяется формулойТак как
, т. е. предел общего члена не равен
Нулю, то на основании следствия из необходимого признака сходимости заключаем, что данной ряд расходится.
< Предыдущая | Следующая > |
---|