22.3. Формула Стокса. Формула Остроградского

Если функцииНепрерывно диффе

Ренцируемы и- замкнутый кусочно-гладкий контур, ограничивающий конечную кусочно-гладкую двустороннюю поверхность о, то справедлива формула Стокса

(22.11)

Где- направляющие косинусы нормали к поверхности

Причем направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали обход контураСовершался против часовой стрелки (в правой системе координат). Формула Стокса может быть записана в следующем символическом виде:

Если- кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая объемИ

- функции, непрерывные вместе со

Своими частными производными первого порядка в областиТо справедли

Ва формула Остроградского

(22.12)

Где- направляющие косинусы внешней нормали к поверхности о.

Пример 22.7. С помощью формулы Стокса вычислить криволинейный

ИнтегралГде- окружность

Пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси В данном примереПоэтому

По формуле (22.11) имеем

Где- часть плоскостиОграниченная данной окружностью. При

Водя уравнение плоскости,К нормальному виду, находим

Таким образом,Где— радиус кру

Га, ограниченного указанной окружностью.

Пример22.8. С помощью формулы Остроградского вычислить

Где— часть конической поверхности — направляющие косинусы внешней

Нормали к этой поверхности.

Чтобы решить задачу, достаточно вычислить второй и третий интегралы. В случае области— косинусы углов с осями координат нор

Мали к плоскостиА именно:Поэтому

— направляющие косинусы внешней

Нормали к этой поверхности.

Формула Остроградского применима в случае замкнутой поверхности. Чтобы получить замкнутую поверхность, присоединим к поверхности конуса соответствующую часть плоскости. Обозначив эту часть плоскости через, по формуле Остроградского получим