22.2. Поверхностные интегралы второго рода

Пусть в точках двусторонней поверхностиЗадана непрерывная функция Выберем на поверхности определенную сторону. Разобьем поверхность Сетью произвольно проведенных кривых на части

В каждой частиВыберем по произ

Вольной точкеВычислим в ней

Значение данной функции. Это значение Умножим на проекциюЧасти На плоскости(а не на площадь как это было в случае интеграла первого рода). При этом числуПриписывается определенный знак, а именно если в точкахНормаль, отвечающая выбранной стороне поверхности составляет с осьюОстрый угол, то через Обозначаем площадь проекции, взятую со знаком плюс, если упомянутая нормаль составляет с осьюТупой угол, то под Будем понимать площадь этой проекции, взятую со знаком минус. Составим сумму всех таких произведений:

(22.6)

Интегралом второго рОда от функцииПо поверхностиНазывается

Предел суммы (22.6) приГде- наибольший из диаметров

Элементарных областей:

Где- функции отОпределенные и непрерывные в точках двусто

Ронней поверхности

Интеграл второго рода обладает всеми свойствами интеграла первого рода за исключением одного: при изменении стороны поверхности интеграл (22.7) меняет знак. Интегралы первого и второго рода связаны формулой

Причем для выбора знака проекции элемента служит угол между нормалью, отвечающей выбранной стороне, и осьюИли

Наиболее общим видом интеграла второго рода служит интеграл

Где- направляющие косинусы нормали, направленной в ту

Сторону поверхности, по которой берется интеграл второго рода.

Интегралы второго рода вычисляются следующим образом. Если поверхность а однозначно проецируется в областьПлоскостиИ- ее уравнение, то

(22.8)

Где знак плюс берется в том случае, когда на выбранной стороне поверхности И знак минус, когдаАналогично, еслиОднозначно проеци

Руется в область(или) на плоскости(илиI, т. е. может быть задана уравнением(или), то

(22.9)

(22.10)

Где в случае (22.9) берется знакА в случае (22.10) - знак

Пример 22.4. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где— верхняя сторона поверхности

НормальВ точке. соответствующая указанной стороне поверхности, составляет с осьюОстрый угол (точнее), поэтому в формуле (22.8), которой следует воспользоваться, нужно взять знак плюс. ПроекциейДанной поверхности на плоскостьЯвляется прямоугольник(рис. 22.5, б), определяемый неравенствами По формуле (22.8) находим

Пример 22.5. ВычислитьГде- внешняя сторо

На поверхностиОтсеченной плоскостями(см. рис. 22.3).

Нормаль к поверхности в точкеОбразует с осьюТупой угол, поэтому в формуле (22.9) следует взять знак минус.

ПроекциейДанной поверхности на плоскостьЯвляется круг

. По формуле (22.9) получаем

Следовательно,

Пример 22.6. ВычислитьГде- внутренняя

Сторона части полусферыВырезанная конусом

В формуле (22.10), которой воспользуемся, следует взять знак минус, так как нормаль, соответствующая выбранной стороне поверхности, составляет с положительным направлением оси Ох тупой угол:

Переходя к полярным координатамНаходим

Так какЕсть круг(получено из уравнений

, то, переходя к полярным координатам, находим

< Предыдущая		Следующая >