21.4. Приложения криволинейных интегралов
ДлинаДуги
Плоской или пространственной линии вычисляется по формуле

Если пространственная линия задана параметрическими уравнениями
, то
Площадь S фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L, находится по формуле
(21.19)
Масса /я материальной дугиОпределяется формулой
(21.20)
Где- линейная плотность вещества в точке_
Этой дуги.
Прямоугольные координаты центра тяжести материальной дуги находятся по формулам
ГдеОпределяется формулой (21.20).
Если- переменная сила,
Совершающая работуАдоль пути
, и функции
Непрерывны, то
Пусть силаИмеет потенциал, т. е. существует функция
Такая, что вы
РажениеЯвляется ее полным дифференциалом
Тогда работа независимо от пути L равна
Где- начальная,
- конечная точки пути.
Замечание. Если линияЛежит в плоскости
То формулы
(21.18), (21.20) - (21.22) упрощаются.
Пример 21.13. Найти массу материальной дуги кривойМежду
ТочкамиЕсли линейная плотность вещества в точке
Пропорциональна абсциссе этой точки.
Найдем выражения линейной плотностиИ дифференциала дуги. Из
Условия следует, что линейная плотность выражается формулойГде
- коэффициент пропорциональности. Из уравнения линии
Находим
Поэтому
Согласно формуле (21.20), имеем

Пример 21.14 Найти центр тяжести дуги винтовой линии
Если линейная плотность в точке
Пропорциональна произведению первых двух координат.
Так какТо
Согласно условию, линейная плотность выражается формулой где
- коэффициент пропорциональности.
По формуле (21.20) находим массу данной дуги

Итак,
Вычислим интегралы каждой из формул (21.21), обозначив их через соответственно:

ТакимОбразом, искомый центр тяжести находится в точке
Пример 21.15. Найти работу, производимую силойВдоль
Дуги кривойОт точки
До точки
Проекции силыИ
На координатные оси соответственно равны
Чтобы найти работу, необходимо воспользоваться частным случаем формулы (21.22):

По формулам (21.21) находим координаты центра тяжести:

По этой формуле получаем

Гпава 22
< Предыдущая | Следующая > |
---|