21.2. Криволинейные интегралы второго рода

Пусть дана дуга пространственной кусочно-гладкой кривой, ограниченная точкамиИ(см. рис. 21.1), и определенная на ней непрерывная вектор-функция

(21.7)

ДугуРазобьем наЭлементарных дуг

ТочкамиНа каждой дуге

Выберем произвольно точкуЗначения функций в точке

Умножим на

Проекции этой дуги соответственно на осиКоторые обозначим через

ПричемИз полученных

Произведений составим сумму

(21.8)

Называемую интегральной суммой по координатам для вектор-функции (21.7). Обозначим черезДлину наибольшей из проекций

Криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатамНазывается предел интегральной суммы (21.8) при

На кривой, целиком лежащей в плоскостиФункцииНе зависят от

Поэтому

Если функцииРассматривать как проекции некоторой переменной силы

На координатные оси, то криволинейный интеграл второго рода выражает работу силыТочка приложения которой описывает кривую

Криволинейный интеграл второго рода зависит от выбора направления обхода кривой; если изменить направление обхода, то интеграл меняет знак:

Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны формулой

Где- углы между осями координат и направлением касательной к линии

Отвечающим направлению интегрирования для интеграла в левой части.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода также сводится к вычислению определенного интеграла.

Если линияЗадана параметрическими уравнениями

И значению а соответствует точкаЗначению- точкаТо

(21.9)

В частности, для кривой. лежащей в плоскости, получаем

Если плоская криваяЗадана уравнением, то

(21.11)

Пример 21.7. Вычислить криволинейный интеграл второго рода Где- отрезок прямой от точкиДо точки

Уравнение прямой, проходящей через точкиИ, имеет видПоэто

Му на отрезкеПодставляя в подынтегральную функцию вместо у его

Выражение черезИ замечая, что при перемещении отМеняется

От 0 до 1, по формуле (21.11) получаем

Пример 21.8. ВычислитьГде-ломаная

(рис. 21.3), причем

Так как контур интегрированияСостоит из двух отрезковИ, то

На отрезке. уравнение которогоИмеемНа

Отрезке, уравнение которогоИмеем, поэтому

Пример 21.9. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где— отрезок прямой в пространстве от

ТочкиДо точки

Составим сначала уравнения прямой, проходящей через точкиИ

Из параметрических уравнений прямойПолучаем

Из этих же уравнений видно, что при перемещении от точкиК точкеПараметрМеняется от 0 до 1, т. е. пределы интегрирования в формуле (21.10), которой воспользуемся, равны соответственно По формуле (21.10) находим