20.3. Замена переменных в тройном интеграле

Если ограниченная замкнутая областьПространстваВзаимно однозначно отображается на областьПространстваС помощью непрерывно дифференцируемых функций

(20.4)

И якобиан

(20.5)

В областиНе обращается в нуль, т. е.То замена переменных в тройном

Интеграле осуществляется по формуле

(20.6)

В частности, при переходе от декартовых координатК цилиндрическим

Координатам(см. п. 1.14), связанным сФормулами

(20.7)

При переходе от декартовых координатК сферическимСвязан

Ным сСоотношениями

(20.9)

Якобиан преобразованияИ формула (20.6) принимает вид

(20.10)

Пример 20.4. Вычислить тройной интеграл,

Где областьЕсть шар

Перейдем к сферическим координатам по формулам (20.9). В области, являющейся образом областиПри преобразовании (20.9) переменныеМеняются. в следующих пределах:ОтДоОтДо,ОтДо Так как подынтегральная функция

, а якобиан преобразования

(20.9) равен, то по формуле (20.10) получим

Пример 20.5. Вычислить тройной интегралГде-

Область, ограниченная верхней частью конусаИ плос

Костью

Введем цилиндрическиекоординаты по формулам (20.7). Уравнение конуса принимает вид, или

Новые переменные в областиИзменяются в следующих пределах:ОтДо ОтДоОтДо

По формуле (20.8) получаем

Пример 20.6. Вычислить, где

ОбластьОграничена эллипсоидом

Введем так называемые обобщенные сферические координаты по формулам

(20.11)

Якобиан преобразования (20.11), определяемый формулой

РавенПодынтегральная функция по формулам (20.11) преобразуется к

Виду, а уравнение эллипсоида запишется так:

, или

В областиПеременныеИзменяются в следующих пределах:ОтДо

ОтДоОтДо По формуле (20.6) получаем

С помощью подстановкиНаходим первый интеграл:

Далее,Поэтому

Пример 20.7. Вычислить тройной интеграл

Где областьОграничена цилиндромИ плоскостями

Перейдем к цилиндрическим координатам по формулам * = pcos<p,

Тогда уравнение цилиндраПримет вид

А подынтегральная функция запишется так:

При таком переходе к цилиндрическим координатам замена переменных в тройном интеграле будет осуществляться по формуле

Следовательно,

Грал  где- шар

Данный интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция не ограничена в рассматриваемой области (она обращается в бесконечность на границе области, т. е. на сфере _).

Выражаем этот интеграл в сферических координатах. Так как в данном случае

То по формуле (20.10) получаем

Последний интеграл (несобственный) вычислим с помощью подстановки

Итак,

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится и равен

< Предыдущая		Следующая >