19.6. Вычисление площадей поверхностей

Случай явного задания поверхности. ПлощадьГладкой поверхности Выражается формулой

(19.19)

Где- проекция данной поверхности на плоскость

Если поверхность имеет уравнение видаТо

(19.20)

Где— проекция поверхности на ось

Если поверхность задана уравнением,, то

(19.21)

Где— проекция поверхности на ось

Случай неявного задания поверхности. ПлощадьПоверхности, заданной уравнениемВыражается интегралом

(19.22)

Где- проекция поверхности на плоскость

Случай параметрического задания поверхности. Если поверхность задана параметрическими уравнениями

Где- ограниченная замкнутая квадрируемая область, в которой

Функции х, у, z непрерывно дифференцируемы, то

(19.24)

Где

(19.25)

Пример 19.17. Найти площадь части поверхности цилиндра Заключенной внутри сферы(боковая поверх

Ность «тела Вивиани», рис. 19.19).

Применим формулу (19.20). Поскольку плоскостьюЦилиндр разделяется на две равные части, то можно вычислить половину искомой площади поверхности. Вычислим площадь той части поверхности, уравнение которой Для определения области интегрирования следует спроецировать на плоскость линию пересечения поверхностей, уравнение которой находится исключениемИз данных уравнений. Вычитая одно уравнение из другого, получаемЭто

Так как

Уравнение параболы, лежащей в плоскости С вершиной на осиНа расстоянии от начала координат и пересекающей ось в точкахДуга указанной

Параболывместе с соответствующим отрезком осиСоставляют границу области.

Пример 19.18. Вычислить площадь поверхности конуса , заключенной внутри цилиндра Цилиндр отсекает на поверхности конуса две части, симметричные относительно плоскостиНа рис. 19.20 изображена только верхняя частьВычислим пло

ИшьЭтой части, проекция которой на плоскостьЕсть круг

Так как для рассматриваемой части конуса

То по формуле (19.19)

Получаем

Где- окружность Переходя к полярным координатам, находим

Следовательно, вся искомая площадь

Пример 19.19. Найти площадь поверхности, вырезанной цилиндром Из сферы

Цилиндр вырезает из сферы две части, верхняя из них изображена на рис. 19.21. Вычислим площадьПоверхности этой сферы. Для верхней полусферы

Следовательно,- круг

Переходя к полярным координатам, находим 338

Итак,

Рис. 19.20

Пример 19.20. Вычислить площадь частей сферы вырезанных из нее цилиндромВоспользовавшись параметрическими

Уравнениями сферической поверхности:

Рис. 19.21

Здесь вдет речь о вычислении площади верхнего и нижнего оснований «тела Вивиани» (см. рис. 19.19). Воспользуемся формулой (19.24), для чего предварительно найдем коэффициентыТак как

То по формулам (19.25)

НаходимСледовательно,

Ограничимся рассмотрением четверти изучаемой поверхности, лежащей в первом октанте. Для точек «кривой Вивиани», т. е. кривой пересечения сферы и цилиндра (в пределах первого октанта),Действительно подставляя выраженияИЧерезИВ уравнение цилиндраПолучаем И поскольку для рассматриваемых точек, очевидно, , то отсюда следует, что

Установив на основании сказанного пределы измененияИПо формуле (19.24) получим

< Предыдущая		Следующая >