19.4. Вычисление площадей плоских областей

ПлощадьПлоской области-Выражается формулой

(19.15)

В криволинейных координатах этот интеграл имеет вид

(19.16)

В полярных координатах

(19.17)

Пример 19.8. Вычислить площадь области, ограниченной линиями

Данная область ограничена параболойИ прямой(рис. 19.12).

Решая систему уравненийНаходим точкуПересечения

Параболы с осьюИз системы уравненийНаходим две точки

Пересечения параболы с прямойОбластьМожно

Рассматривать как область первого вида и как область второго вида.

Применяя формулу (19.15) и рассматривая областьКак область первого вида, находим

Замечание. Рассматривая областьКак область второго вида, получаем

Пример 19.9. Вычислить площадь области, ограниченной линиями  По формуле (19.15) получаем

Пример 19.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли

В силу симметрии кривой относительно осей координат достаточно вычислить площадь одной четверти данной фигуры. Переходим к полярным координатам, полагаяПолярное уравнение лемнискаты имеет вид

ИлиДля части фигуры расположенной в первом

Координатном углу, имеем

Обозначая площадь этой фшуры через, по формуле (19.17) получаем:

Пример 19.11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Фигура представляет собой криволинейный четырехугольник, ограниченный двумя параболами и двумя прямыми, проходящими через начало координат (рис. 19.13). Введем новые криволинейные координатыСвязанные с координатамиИФормулами

(1)

- Эта замена переменных подсказана видом области интегрирования (в качестве новых переменных взяты параметры, входящие в уравнения линий, ограничивающих данную фигуру). Из уравнений (1) выражаемИЧерезИ

Находим якобиан преобразования (2):

По формуле (19.16) получаем

< Предыдущая		Следующая >