19.3. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Криволинейные координаты ия плоскости. Рассмотрим непрерывно дифференцируемые функцииИПрямоугольных декартовых координатИ

Предположим, что уравнения (19.8) однозначно разрешимы относительно х и у:

(19.9)

Где- непрерывно дифференцируемые функцииИ

Придавая поочередноИРазличные (возможные для них) постоянные значения, получаем два семейства линий на плоскости (рис. 19.8, а); эти линии называют координатными линиями. Положение точкиНа плоскости определяется парой чиселИли парой чиселГдеИВыражены формулами (19.8).

ЧислаНазываются криволинейными координатами точкиНа плоскости. Примером криволинейных координат являются полярные координаты, в этом случае; координатные линии - концентрические окружности и полу

Прямые, исходящие из начала координат (рис. 19.6, б). Прямоугольные координаты - также частный случай криволинейныхКоординатные линии - прямые, параллельные осям координат (рис. 19.8, в).

Рис. 19.8

Замена переменных в двойных интегралах. Если непрерывно дифференцируемые функции (19.9) осуществляют взаимно однозначное отображение области ПлоскостиНа областьПлоскости(рис. 19.9), то

(19.10)

Где- функциональный определитель (якобиан):

В случае перехода к полярным координатам формула (19.10) принимает ввд

(19.11)

(19.12)

Так как

¦зот

Рис. 19.9

Если область(рис. 19.10) ограничена лучами, образующими с полярной осью углыИ кривымиГо

(19.13)

Если областьОхватывает начало координат, то

(19.14)

Пример 19.6. Вычислить, где областьОграничена.

ЛиниямиИ дугой окружности, лежащей в первой чет

Верти (рис. 19.11).

Применим формулы (19.12), (19.13), предварительно выразив уравнения границ области и подынтегральную функцию в полярных координатах. Так как То уравнения границ области принимают вид pcos<p =

А подынтегральная функция Следовательно,

Пример 19.7. ВычислитьГде—область,

Ограниченная линиями

Для вычисления данного двойного интеграла введем так называемые обобщенные полярные координаты:

Найдем якобиан данного преобразования (считая). Так как

То, по формуле (19.11)

Получим

Подынтегральная функция и уравнения границ области S примут вид

Итак, областьОграниченную эллипсами, преобразование (I) переводит в другое кольцо, ограниченное окружностями радиусовИС центром в точке/уголМеняется отДоПо формуле (19.14) находим

< Предыдущая		Следующая >