19.1. Понятие двойного интеграла, его геометрический и механический смысл

На плоскостиРассмотрим областьПлощадиОграниченную замкнутой кривой (рис 19.1). Пусть в области,Определена функция. Разобьем областьСетью

Линий на конечное число областейПлощади которых

. В каждойЭлементарной областиВыберем произвольную

ТочкуЗначение функции в этой точкеУмножим на площадь

Соответствующей области и все произведения сложим. Полученная сумма

Называется интегральной суммой функцииВ области

Двойным интегралом от функцииПо областиНазывается конечный

ПределИнтегральной суммыПриГде- наибольший из диаметров элементарных областей

(19.1)

Обозначения двойного интеграла: I = ДО /(х, у) <18,1 = ДО/(х, у)сЫу.

5 5

Функция 2 = /(х, у), для которой предел (19.1) существует и конечен, называется интегрируемой.

Если функция 2 = /(х, у) непрерывна в области 8, то она. интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла. Если /(х, у)>0, то двойной интеграл от функции г = Дх, у) по области 8 равен объему тела, ограниченного сверху поверхностью г = /(х, у), с боков - цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Ог, а направляющей служит контур у фигуры 8, снизу - плоскостью г = 0 (рис 19.2).

Механический смысл двойного интеграла. Двойной интеграл от функции г-Дх, у) > О по области 8 представляет собой массу фигуры 5, если подынтегральную функцию /(х, у) считать плотностью этой фигуры в точке М(х, у).

Свойства двойного интеграла.

1 • ДО с/(х, у) <18 = сДО Дх, у) 08 (с = сопз1).

5 5

2. Я<д* . у) ± (Ф (*. у))08 = ДО Дх, у) <18 ±ДОф (X, у) (18.

5 5 5

3. Если Дх, у) < ф (х, у), то ДО Дх, у) <18 < ДОф (х, у) <18.

5 5

4- ДО/(х, у)Л5 <ДО|/(х, у)|<й.

5 5

5- ДО /(*, У) 08 = ДО /(х, у) <18 +ДО Дх, у)

5 ' 5, 52

Где 5, и 82 — области, на которые разбита область 8.