17.6. Интегралы Эйлера

Гамма-функция, или эйлеров интеграл второго рода, определяется формулой

(17.19)

Этот интеграл является несобственным, так как верхний предел бесконечен; кроме того, приПодынтегральная функция не ограничена в окрестности точки Интеграл (17.19) сходится при. Каждому положительному значениюСоответствует вполне определенное значение. ФункцияНе является элементарной. С Помощью метода интегрирования по частям можно доказать, что

(17.20)

ПриИнтеграл находится непосредственно:

Подставляя в формулу (17.20) значенияПолучаем

(17.21)

Итак, при натуральных значениях аргумента гамма-функция совпадает с факториалом, т. е. с функцией. Но гамма-функция определена не только при натуральных, но и при любых положительных значениях аргумента. Из формулы (17.21) следует, что можно считать. График гамма-функции

Изображен на рис. 17.7.

Гамма-функция определяется и при отрицательных значениях. В этот случае необходимо применить формулу (17.21), переписав её в виде

(17.22)

Если, то, поэтому правая часть формулы (17.22)

Имеет смысл, ею и определяетсяПри этих значениях; отметим, что в

Таком случае. Продолжая аналогичные рассуждения, убеждаемся в

Т«щ«гго гамма-функция определена для всех отрицательных значений кроме, гдеИ кроме

График гамма-функции при отрицательных значениях р изображен на рис. 17.8. Гамма-функция определена и для комплексных значений аргумента, кроме р ——к, к = 0Д2,...

Бета-функция, или эйлеров интеграл первого рода, определяется формулой

В(р,<?) = |^-1(1-хГ, Л. (17.23)

Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки х = 0 при р -1 < 0 ив окрестности точки х = 1 при <7 -1 < 0.

Интеграл (17.23) сходится при р> 0, <7 > 0.