17.5. Несобственные интегралы

При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что выполняются условия: 1) пределы интегрированияИЯвляются конечными;

2) подынтегральная функцияОграничена на отрезке. В этом случае

Определенный интеграл называют собственным. Если хотя бы одно из указанных условий не выполняется, то интеграл называют несобственным.

Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функцияНепрерывна

При любом, Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом:

(17.13)

Предположим, что приФункция (17.13) имеет конечный предел; этот

Предел называется сходящимся несобственным интегралом от функцииПо

Если предел (17.14) не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл от неотрицательной функции выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева — отрезком прямойСнизу-осью(рис. 17.5); в случае сходящегося интеграла эта площадь является конечной, в случае расходящегося - бесконечной. Если- первообразная для, то

Где

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом

И несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами

Где- любая точка из интервала

Теорема 17.8. Если приВыполнены неравенстваИ

Сходится, то сходится иПричем

ЕслиРасходится, то расходится и

Геометрическое значение этой теоремы иллюстрируется на рис. 17.6.

Теорема \1.9. Если в промежутке (а, + °°) функция /(х) меняет знак и +~ +~

^|/(х)| <1х сходится, то сходится также \Пх) дх.

А а

Интегралы от неограниченных функций. Если функция у - /(х) неограниченна в окрестности точки с отрезка [а, Ь] и непрерывна при а<х<с и с <х<Ь, то несобственный интеграл от этой функции определяется формулой

Ь С-Е ь

Г/(х)«Ьг= Нт Г/(х)(1х+ Пт Г/(х)с! х, (17.16)

^ Е—>О ^ т1-»0 ^

А а с+Л

Где е > О, Т| > 0. В случае с = Ь или с—а получаем

Ь Ь-Е

|/(х)йЬс= 1йп |/(х) (1х, (17.17)

А а

Ъ Ь

Г /(х) Лх = Нт Г /(х)с! х. (17.18)

^ л-»о ^

А а+ч

Несобственные интегралы (17.17) и (17.18) называются сходящимися, если существует конечный предел соответствующего определенного интеграла; в противном случае интегралы называются расходящимися.

Несобственный интеграл (17.16) называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части.

Для интегралов от неограниченных функций справедливы теоремы, аналогичные теоремам 17.8 и 17.9. Они применяются для исследования вопроса о сходимости несобственных интегралов и оценки их значений.

Пример 17.7. Исследовать, сходится ли несобственный интеграл

Г дх

Преобразуем подынтегральную функцию, выделив в знаменателе полный квадрат:

1 _1_ 1

Х2 +х+1 х2 + 2.1х+1_1+, (х + 1/2)2+3/4‘

2 4 4

Применяя формулы (16.15) и (17.15), находим

-*_Л_4(х+Ч21 _ = _}_^х+}12 Г

Г Ох Г </(*+!/____

.! х2+х + 1 Л (х +1/2)2 + (л/з/2)2 л/з/2 “‘“6 л/з/2 |

2 ( , —1+1/2^ 2 (п пЛ 4п

Итак несобственный интеграл сходится и его значение равно 4 тс/Зл/З (=2,4184).

Пример. 17.8. Исследовать при каких значениях а > 0 сходится несоб-ь

Ственный интеграл (Ь>а).

Если 0 = 1, то

= Нт-((Ъ - д),_в - е ).

Е-»о 1 —а

Этот предел будет бесконечным при 1-а<0, или а>1; он будет равен постоянной (Ь-а)*~а/( 1—а) при 1-соО, илиа<1. Итак, данный интеграл сходится при а<1.

Пример 17.9. Исследовать, сходится ли несобственный

Интеграл ^ 1

Так как