16.6. Интегрирование рациональных функций

Рассмотрим неопределенные интегралы вида ^ /? (х) Ах, где К (х) -

Правильная рациональная дробь, т. е.

Д _ РЛ*) _ а0+а1х + а2х Н Нои_[Х + аГ1х ^ »

&(*) Ь0+Ь1х+Ь2х2 + ¦¦¦+ Ът_,хт~' + Ьтхп

Нахождение указанных интегралов основано на разложении рациональной

Дроби в сумму элементарных дробей, т. е. дробей вида

А Вх + С

(х-я)“’ (х2 + рх+дУ5’ где а, р - натуральные числа; а, р, д, А, В, С - действительные числа; р2/4-<? < 0 (корни трехчлена являются комплексными).

Это разложение определяется теоремой 8.5 (см. п. 8.7).

Так как -- - г—— = ——+~т~—~ (см. пример 8.18), то х +1 х+1 х2-х+1

Пример 16.22. Найти Г7- с1х.

^ х3+1

Г7х2-х + 1 ГА(х+1) „ Г(х2-х + Х)'Ах _

Поскольку

Х - Зх + 2 3(х+2) 3(х-1) (х-1)

(см. пример 8.19), то

Г х2 +х+1 ±с_ \ Г с? (х + 2) ( 2 Г</(х-1) , М(х-1)_ ^ х3 - Зх + 2 3^ х+2 3^ х —1 ^ (х-1)2

Пример 16.24. Найти интеграл I - г-—

^ х —з

Х —х +2х —2х +х-1 Разлагая знаменатель на множители, получаем х5-х4+2х3-2х2+х--1 = х4(х-1)+2х2(х-1)+(х-1)=(х-1)(х4+2х2 + 1) = (х-1)(х2 +1)2.В данном случае разложение в сумму элементарных дробей должно иметь вид

_1__ А Вх + С Бх+Е

(х —1)(х2 +1)2 х-1 х2 +1 (х2 +1)2 ’

Откуда

1 = А (х2 + 1)2 +(Дх + С)(х —1)(х2 + 1)+(/)х + .Е)(х —1).

Полагая в этом тождестве х = 1, находим 1 = А -4, т. е. А = 1/4. Придавая х соответственно значения х = 0, х = — 1, х = * = ^/—1, получаем уравнения

1 = А-С-Е; 1 = 4А+4В-4С+2В-2Е; 1 = (Ш+Е)0-1), или 1 = = —0—ГН+Е1-Е, т. е. 1 = - И - Е + ( Е - П) I, откуда 1 = - Б-Е, Е-Б = 0. Решив полученные уравнения, найдем В = —1/4, С = —1/4,0= —1/2, Е=—1/2. Таким образом,

Г_Ах__г( 1 х + 1 х + 1