15.07. Задачи на наибольшие и наименьшие значения

 

Наибольшим значением (абсолютным максимумом) функцииНа от

РезкеНазывают такое ее значение, которое больше всех других значений,

Принимаемых функцией на данном отрезке. Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо вычислить значения максимумов на этом отрезке, значения функции на концах отрезка, а также во всех точках отрезка, в которых производная не определена; из полученных чисел выбрать самое большое. Аналогично определяется и разыскивается наименьшее значение функции (абсолютный минимум).

В математике, физике, химии, технических и других науках, а также в повседневной жизни часто встречаются задачи на отыскание наибольших и наименьших значений некоторых функций.

Общая схема решения таких задач состоит в следующем. Сначала устанавливается зависимость рассматриваемой величиныОт некоторой независимой переменной величины(обозначения, разумеется, могут быть другими). Из условия задачи определяется промежуток, в котором может изменяться аргумент функции. Функция Исследуется с помощью теории, рассмотренной в предыдущих главах. Пример 15.13. Найти наименьшее значение суммы двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно

Обозначим искомые числа черезПо условиюГдеПоэтому

Сумма этих чиселЯвляется функцией перемен

Ной; в соответствии с условием Находим производные функции

Приравнивая нулю первую производную, получаем уравнение, из

Которого находим критические точкиПервое значение не

Принадлежит области изменения аргумента данной функции.

ПосколькуТо- точка минимума,

Причем

Пример IS. 14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции На отрезке«*

Найдем сначала экстремумы данной функции:

ТочкаНе принадлежит данному

Отрезку. Так как, то- точка минимума, причем

Находим значения функции на концах отрезка:

Сравнивая эти три числа, заключаем, что наибольшее значение данной функции на заданном отрезке равноА наименьшее Пример 15.15. Прямоугольник вписан в эллипс с осямиИКаковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Рассмотрим прямоугольникВпи

Санный в данный эллипс (рис. 15.10), с основаниемИ высотойПлощадь прямоугольника определяется формулой

Где

(получено из уравнения эллипса). Следовательно,— функция переменнойТак как

, тоПриПосколькуПри

ИПри, то- точка максимума функции

Если, тоСледовательно, площадь

Прямоугольника будет наибольшей, когда его стороны равны (тогда площадь равна).

< Предыдущая		Следующая >