15.03. Экстремум функции

Рассмотрим функцию у = Дх), областью определения которой является промежуток (а, Ъ).

Если можно указать такую 6-окрестность точки принадлежащую промежутку (а, Ь\ что для всех хеО(х,,8), хФх,, выполняется неравенство

Дх,)>/(х), (15.4)

То У\~/\(х\) называют максимумом функции у = Дх) (рис. 15.2).

Максимум функции у-Дх) обозначим через шах Дх).

Если можно указать такую 8-окрестность точки хг, принадлежащую промежутку (а, Ь), что для всех х е О (хг, 8), неравенство

То У г = Дх2) называют минимумом функции у = Дх) (см. рис. 15.2).

Минимум функции у = Дх) обозначим через шт Дх).

Другими словами, максимумом (минимумом) функции у = Дх) называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех других значений, принимаемых в точках, достаточно близких к данной и отличных от нее.

Замечание 1. Максимум функции, определяемый неравенством

(15.4), называется строгим максимумом; нестрогий максимум определяется неравенством /(х,)^ Дхг).

Замечание 2. Максимум и минимум функции имеют локальный характер (это наибольшее и наименьшее значения функции в достаточно малой окрестности соответствующей точки); отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рис. 15.3). Вследствие этого максимум (минимум) функции называют локальным максимумом (локальным минимумом) в отличие от абсолютного максимума (минимума) - наибольшего (наименьшего) значения в области определения функции.

Максимум и минимум функции называются экстремумом. Латинское extremum означает «крайнее» значение. Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума Необходимое условие экстремума выражается следующей теоремой.

Теорема 15.3. В точке экстремума дифференцируемой функции производная ее равна нулю.

Теорема имеет простой геометрический смысл: касательная к графику дифференцируемой функции в соответствующей точке параллельна оси(см. рис. 15.2).

Замечание 3. Если, то отсюда еще не следует, что

Точка экстремума. Например, для функцииНо

Не является точкой экстремума, так какПриИПри

(неравенство (15.4) или (15.5) здесь не выполняется).

Замечание 4. Функция может достигать экстремума также в точке, в которой производная не существует. Например, функцияНе имеет

Производной в точкеНо достигает в ней максимума:ПриА

Для всякой другой точки(рис. 15.4, а). ФункцияНе

Имеет конечной производной в точкеПосколькуПри

Обращается в бесконечность, но в этой точке функция имеет минимум: При(рис. 15.4, б).

Говорят, что функцияМеняет знак при переходе через точку, если

Для любыхИИз некоторой окрестности этой точки, удовлетво-

Ряющих неравенствам х, < х0 < х2; знак меняется с плюса на минус, если /(*,)>(), а /(х2)< 0; знак меняется с минуса на плюс, если /(л,)<0, /(х2)>0.

Формулируя теоремы 15.4 и 15.5, будем предполагать, что функция у = /(*) дифференцируема в некоторой окрестности точки х0.

Теорема 15.4. Если при х = х0 производная функции у — /(х) равна нулю и меняет знак при переходе через это значение, то х0 является точкой экстремума, причем: I) х0 - точка максимума, если знак меняется с плюса на минус; 2) х0 - точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.

Теорема имеет следующий геометрический смысл: если в точке М0(х0, /(х0)) графика дифференцируемой функции касательная параллельна оси Ох, в точках слева от М0 образует тупой угол с осью Ох, в точках справа - острый, то х0 - точка минимума (рис. 15.5, о); если в точках слева от М0 касательная образует с осью Ох острый угол, а в точках справа - тупой, то х0 - точка максимума (рис. 15.5,6).

Замечание. Теорема верна и в случае, если х0 - точка непрерывности функции /(х), производная в ней не существует и меняет знак при переходе через эту точку.

Достаточное условие экстремума можно выразить также с помощью второй производной.

Теорема 15.5. Если в точке х = х0 первая производная функции у = /(х) равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то х0 является точкой экстремума, причем: 1) х0 - точка минимума, если /"(хь) > 0; 2) х0 - точка максимума, если /"(ло)<0.

Теорема 15.6. Пусть в точке х0 первые п производные равны нулю, а (и +1) - я отлична от нуля и непрерывна в этой точке, тогда: 1) если (и + 1) — четное число, то х0 — точка экстремума: точка максимума при /^п+|)(х0) < 0 и точка минимума при /("+|)(л0)>0; 2) если (и + 1) - нечетное число, то х0не является точкой экстремума.