15.04. Направления выпуклости, точки перегиба

 

График функцииНазывается выпуклым вниз (вогнутым вверх) в дан

Ном промежутке, если он целиком расположен выше касательной в его произвольной точке (рис. 15.6, а).

График функцииНазывается выпуклым вверх (вогнутым вниз) в дан

Ном промежутке, если он целиком расположен ниже касательной в его произвольной точке (рис. 15.6, б).

Теорема 15.7. Если вторая производная функцииВ данном

Промежутке положительна, то график ее является выпуклым вниз в этом промежутке; если, то график функции является

Выпуклым вверх в соответствующем промежутке.

Точкой перегиба графика функцииНазывается такая его точка

(рис. 15.7), в которой выпуклость меняется на вогнутость (по отношению к одному и тому же направлению: вверх или вниз).

Теорема 15.8. Если вторая производная функцииПриОб

Ращается в нуль и меняет знак при переходе через, то—

Точка перегиба графика этой функции.

Пример 15.10. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

Поскольку вторая производнаяОбращается в нуль при

И меняет знак при переходе через это значение, то- абсцисса точки перегиба, ордината этой точкиТ. е.— точка перегиба.

Так какПриИПри, то график функции является

Выпуклым вверх в интервалеИ выпуклым вниз в интервале

< Предыдущая		Следующая >