15.01. Правило Лопиталя - Бернулли

При исследовании функций может появиться необходимость нахождения предела дроби /(х)/(р(х), числитель и знаменатель которой при х —> а стремятся к нулю или к бесконечности. Нахождение таких пределов называют раскрытием неопределенностей соответствующего виаа. Основой его является правило Лопиталя - Бернулли, выражаемое следующей теоремой.

Теорема 15.1. Если функции /(х) и <р (х) дифференцируемы в окрестности точки х = а, обращаются в нуль в этой точке и существует предел отношения /’(х)/<р' (х) при х —»а, тогда существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных

Нш = 1ип /М. (15.1)

Х->а <р (дс) х->а ф' (х)

Замечание 1. Теорема верна и в том случае, когда функции /(х) и Ф (х) не определены в точке х = а, но Нт /(*)*= 0, Иш ф (х) = 0.

Х—>а х—>о

Замечание 2. Теорема верна и в случае а = т. е. когда 1нп /(*) = 0, Нш ф (х) = 0.

Х~»оо X —> оо

Замечание 3. Если /'(а) = 0, ф'(о) = 0, функции /'(х), ф'(я) дифференцируемы в окрестности точки х = а и существует предел отношения /"(¦*)/ф"(*) при х —» а, то

Нш = Нш (15.2)

Х-ю ф' (х) х->а ф" (*)

Другими словами, правило Лопиталя - Бернулли при вьшолнении соответствующих условий можно применять несколько раз.

Правило Лопиталя - Бернулли применимо и при раскрытии неопределенно-

„ •» 0 стей вида —, поскольку ее можно привести к неопределенности вида —, пред-

Оо 0

Ставив рассматриваемую дробь так:

/(*)_ 1.1 фМ фМ /М

С помощью тождественных преобразований к основному виду — или — можно све-

0 М

Сти неопределенности других видов, таких, как 0 ¦ <=“, со-со, 1”, о0, со0.

Неопределенность вида О-оо, т. е. произведение /(х)ф (х), где /(х)-»0, Ф (х) —» оо при х -» а, приводится к виду — или — по формулам

О ОО

/(*) Ф (*) = /(*):-7-т, /(¦*) ф (*) = ф (х):¦-1—, ф(*) /(¦*) а затем применяется правило Лопитапя - Бернулли.

Аналогично раскрывается неопределенность вида оо-оо, т. е. находится предел Нт (/(х)-ф(х)) при условии, что Нт/(х) = оо, Нт ф (х) = С помощью

Х->о х-»о х~>а

Преобразования /(х)-ф(х) = [—----?—I:-5- эта неопределенность

^ф(х) Дх)) /(х)ф(х)

О ,

Сводится к неопределенности вида —.

Раскрыть неопределенность вица 1~ — значит найти предел Иш (/(-х))ф(х)

Х-*а

При условии, что Нт Дх) = 1, Нт ф (х) =

Х~>а х -*а

Раскрыть неопределенности вида 0°, оо° - значит найти предел Нт (/(х))ф(г) при соответствующем условии: 1) Нт/(х) = 0, Нтф(х) = 0;

Х-*а х-»о х —> а

2) Нт Дх) = »°, Нтф(х) = 0.

Х-*а х->й

Неопределенности 1”, 0°, °о° раскрываются способом, в котором используется тождество (Дх)Г<*> = е9М'п/(г).

При раскрытии этих неопределенностей данное выражение предварительно логарифмируют и находят предел его логарифма.

Правило, выражаемое теоремой 15.1, сформулировано швейцарским математиком И. Бернулли (1667 - 1748) и’ опубликовано в 1696 г. в первом печатном учебнике анализа бесконечно малых, написанном французским математиком Г. Лопиталем (1661 - 1704).

ДХ _ —X

Пример 15.1. Найти Нт-.

*-»<> 1п (1 + х)

При х = 0 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, имеем неопределенность вида Чтобы раскрыть ее, применяем правило

Лопиталя — Бернулли: