14.5. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 14.7. (Лагранжа). Если функцияНепрерывна на отрезкеИ

. дифференцируема в интервале, то существует такая точкаЧто

Следствие 1. Если производная функции равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то функция есть тождественная постоянная в этом промежутке.

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные в некотором промежутке, то они отличаются в этом промежутке лишь постоянным слагаемым.

Корнем (или нулем) функцииНазывается такое значение

Ее аргумента, при котором эта функция обращается в нуль. Геометрически корень функции означает абсциссу точки, в которой график функции пересекает осьИли касается ее.

Теорема 14.8. (Ролля). Между двумя различными корнями дифференцируемой функции содержится по меньшей мере один корень ее производной.

Замечание 1. Теорема имеет простую геометрическую интерпретацию: между значениямиИИмеется по меньшей мере одно значениеТакое, что в точке Графика функции касательная к

Графику параллельна оси(рис. 14.5).

Замечание 2. Теорему можно сформулировать в более общем виде. Если- функция, дифференцируемая на отрезкеИТо

МеждуНайдется точка с, в которой производная равна нулю, т. е.

Теорема 14.9. (Коши). ЕслиИ- две функции, непре

Рывные на отрезкеИ дифференцируемые в интервале, причем

Для любогоТо междуНайдется такая точкаЧто

< Предыдущая		Следующая >