14.4. Дифференциал функции

Понятие дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Рассмотрим функциюОпределенную в некотором про

МежуткеИ ее приращениеВ точке, где

Если приращение функции представимо в виде

(14.23)

Где- постоянная,- бесконечно малая высшего порядка по сравнению с

, то слагаемоеНазывают дифференциалом функцииВ точкеИ

ОбозначаютИлиФункциюВ этом случае называют

Дифференцируемой в точке

Если приращение функцииПредставимо формулой (14.23), то

Следовательно,Так как

(14.24)

Т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, то

(14.25)

Откуда, т. е. производная равна отношению дифференциала функ

Ции к дифференциалу независимой переменной.

Формулу (14.23) можно записать так:

(14.26)

Дифференциал функции называют также главной линейной частью ее приращения.

Теорема 14.6. Бесконечно малое приращение функции эквивалентно ее дифференциалу при всех значениях независимой переменной, для которых производная функции конечна и отлична от нуля.

Из равенства (14.26) при достаточно малыхПолучаем

Или(14.27)

Откуда

(14.28)

Формулы (14.27) и (14.28) применяются в приближенных вычислениях.

Пример 14.22. Вычислить значение дифференциала функции Когда аргументМеняется отДо Найдем сначала выражение для дифференциала данной функции по формуле

(14.25):Так как

Пример 14.23. Вычислить приближенно значение функции

При

Значение аргументаПредставим в виде

ПриЛегко вычисляются значения функции и ее производной

Эти значения входят в формулуПолу

Ченную из формулы (14.28). Следовательно,

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение(рис. 14.4).

Рис. 14.4

Отметим, что(рис. 14.4, а) или(рис. 14.4, б); если функция

Равна постоянной, то

Физический смысл дифференциала. Рассмотрим прямолинейное движение точки по закону, где— длина пути,- время,-дифференцируемая функция; тогдаГде- скорость движения. Следовательно, дифференциал пути равен приращению пути, полученного в предположении, что, начиная с данного моментаТочка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

Свойства дифференциала. Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

1. Дифференциал постоянной равен нулю:

(14.29)

2. Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых:

(14.30)

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны

(14.31)

3. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:

(14.32)

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

4. Дифференциал частногоДвух дифференцируемых функций

Определяется формулой

(14.34)

5. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого-от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Основные дифференциалы:

Дифференциалы высших порядков. Если- независимая переменная и - дифференцируемая функция, тоТ. е. дифференциал

Функции есть функция, зависящая от двух аргументовИЭтот дифференциал будем называть также дифференциалом первого порядка (или первым дифференциалом). СчитаяПостоянной, получаем, что- функция одной переменной. Предположим, что функцияИмеет не только первую производную, но иПоследовательных производных