14.3. Основные формулы дифференцирования

Производные степенных и тригонометрических функций выражаются следующими формулами:

(*“)' = С«а-\ х>1, Ь/*)' = ^=г> ^ =--1,

(8Ш х)' - созх, (созх)' = - зт х,

ДГ X

Пример 14.5. Найти производную функции у = 8Ш —н сов —.

3 6

Применяя формулы (14.11), находим

/-«*§(§) =

1 х 1.x

~"зС08з --681П б‘

Пример 14.6. Найти производную функции у = с1§2 Зх.

Так как = V2, где V = с\%и, и= Зх, то формулу (14,8) применяем дважды. На основании формулы (14.10) и второй из формул (14.12) получаем

/ = -2с1ёЗх - Л— (Зх)' = -

81П Зх 8Ш Зх

Пример 14.7. Найти производную функции у = 0®2 2х.

Так как у = \]м/, и» = V2, V = и = 2х, то у' =у{,-и*' • у' •«'. Применяя

Формулу (14.10) и первую из формул (14.12), находим

, 1 . - 1 . 4 1 4сов2х

У —--—21®2х-5—2 =--;--г— =--^-.

1%‘ 2х сов 2х 18 2х сов 2х 81П 2х Х л1па

(1п х)' = — (дг>0), (1пЫ)' = — (х Ф 0). х х

Если и = и (х) - дифференцируемая функция, то

(аи)' = а" 1па-и', (еиу = е“и', (14.13)

(1°8а «У = 0п«)' = -¦ (14.14)

Х\па и

Пример 14.8. Найти производную функции > = е5т3х.

Применяя вторую из формул (14.13), находим

У' = е5т3г($тЗх)' = е81"3* совЗх (Зх)' = Зенп31 сояЗх Пример 14.9. Найти производную функции у = 1п(1+л2). На основании второй из формул (14.14) получаем

, (1+х2)' 2х

У=Ч^Г=Т^-

Пример 14.10. Найти производную функции у = 1пл/л2 +4х + 5. Так

1 1

Как у = — \п(х +4х + 5), то

(*2+4х + 5)' _ х+2 У 2(х2 + 4* + 5) х2 + 4х + 5 Производные обратных тригонометрических функций находят по формулам

(агсвт х)' = ¦ =¦, (агссозл)' = —. * ,

•\/1-*2 л/1-*2

(агс1ёх)' = —Ц-, (агсс1§*)' = -—Ц-.

\+х 1+хг

Если и = и (х) — дифференцируемая функция от х, то

(агс51пм)/= . и (агссок и)' = - , М - , (14.15)

VI-и2 л/1-«2

(ах<Л%и)' = -- , (агсс1§м)' =--(14.16)

1 +и 1 + и

Пример 14.11. Найти производную функции у = агсвт л/1-3* + +агссо$ - Д-2х.

Если- дифференцируемая функция, то

(14.17)

(14.18)

Пример 14.13. Найти производную функции Применяя формулы (14.17), находим

Пример 14.12. Найти производную функции С помощью первой из формул (14.16) и формулы (14.7) получаем

Производные гиперболических функций находят по формулам

Пример 14.14. Найти производную функции В соответствии с формулами (14.18) получаем

Производные неявных функций и функций, заданных параметрически. Производная функцииЕсли дифференцируемая функцияЗада

На уравнениемТо производнаяЭтой неявной функции

Может быть найдена из уравненияГдеРассматривается как

Сложная функция переменной

(14.21)

Если функция у = у (х) задана параметрически:

* = *('), У=У(0 (ос<«Р), (14.19) где х ((), у (I) - дифференцируемые функции и х' (_() Ф 0, то ее производная у' определяется формулой

У>У',/х;. (14.20)

Производная степенно-показательной функции и”, где и, V - дифференцируемые функции от х, находится с помощью предварительного логарифмирования, которое приводит к формуле

(ку), = ну^'1пи

Пример 14.15. Найти производную функции, заданной уравнением у8тх = со8(х-у).

Это уравнение определяет у = у (х) — функцию от х. Подставляя функцию у = у (х) в данное уравнение, получаем тождество у (х)втх = сов (х - у (х)). Дифференцируем это тождество и из полученного уравнения находим у' = у' (х): у'зтх + у со$х = - кт (х - у) (1 - у'), у'втх+усовх = -$№ (х - у) + у'кт (х - у),

. • ч, УС08Х + 81П (X-V) у С08 X + 31П (х — У) — У (81П (х — у) — Б1П х), у --.

81П (X — у) — 81П X

Пример 14.16. Найти производную функции, заданной уравнениями х = /-вт/, у = 1-со8/.

Эта функция задана параметрически (см. (14.19)). Так как х,' = 1 - - сов/,

У', = 8ШI, то по формуле (14.20) получаем у' = — =

Х\ 1-сок/

Пример 14.17. Найти производную функции у = хыпг.

Логарифмируя это равенство по основанию е, получаем 1пу= зшх1пх. Дифференцируя, находим у'/у = С08х1пх + 8тх(1/х), откуда у' = = у (со8х 1пх + втх ¦ (1/х)), у' = хм"х (со8х1пх+втх/х).

Пример 14.18. Найти производную функции х*.

Это также функция у = «у, где и = х, у=х. По формуле (14.21) получаем у' = х*(1пх + 1).

Производные высших порядков. Производной второго порядка, или второй производной, функции у = /(х) называется производная от ее производной у' = /'(х) (которую называют первой производной).