14.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

Касательной к линииВ точкеНазывается прямая- предельное

Положение (рис. 14.1) секущейКогда точкаСтремится кВдоль дан

Ной линии (т. е. уголСтремится к нулю) произвольным образом.

Производной функцииВ точкеНазывается предел отношения при

Ращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Производную функцииВ точкеОбозначают символом

(читается: «эф штрих от») или. Следовательно, по определению

(14.1)

Употребляются и другие обозначения: если

Термин «производная» (а также «вторая производная») ввел Ж. Лагранж (1797), он же предложил обозначения (1770, 1779). ОбозначениеВпервые встречается

Лейбница (1675).

Геометрический смысл производной. Производная функции приРавна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции

В точкеТ. е.

(Н.2)

Где- угол наклона касательной к осиПрямоугольной декартовой системы координат (рис. 14.2).

Уравнение касательной к линииВ точкеПринимает вид

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если /(х0)* О, то уравнение нормали к линии у = /(х) в точке М0(х0, у0) запишется так:

У~Уо^~~^т~~т(х~хо)- (14-4)

/'(*<>)

Физический смысл производной. Если х — /(/) - закон прямолинейного движения точки, то х' = /'(О — скорость этого движения в момент времени I.

Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

Если отношение Ду/Дх при х—»х0 имеет

Предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными.

Односторонние производные функции /(х) в точке х0 обозначается соответственно символами /Дх0), /+'(х0):

Г,, ч /(х0+Дх)-/(х0)

]Лхо)= 1™ ¦ --———- - производная слева;

Дг-»-0 Дх

. .. /(х0+Дх)-/(х0)

/Лхо)= Нт - —у--—- —— - производная справа.

ДХ-++0 Дх

Очевидно, функция /(х), определенная в некоторой окрестности точки х0, имеет производную /'(х0) тогда и только тогда, когда односторонние производные /_'(х0), /+'(х0) существуют и равны между собой, причем /_'(х0)= /+'(х0) = /'(х0).

Если для некоторого значения х выполняется одно из условий

Нт = + Нт — = - оо,

Дг-»0 Дх Дх—>0 Дх

То говорят, что в точке х существует бесконечная производная, равная соответственно +<*>,

Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной к графику распространяется и на этот случай: касательная в данном случае параллельна оси Оу (рис. 14.3, а - Ь).

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке. Если промежуток является замкнутым, то на концах его имеются односторонние производные.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции выражается следующей теоремой.

Теорема 14.1. Если функцияДифференцируема в данной точке,