13.06. Бесконечно большие функции

Функция у = /(х) называется бесконечно большой при х -» а, если для любого положительного числа N можно найти такое число 6 > 0, что при всех значениях х, удовлетворяющих условию 0 < | х - а | < 6, выполняется неравенство | /(*) | > N.

Бесконечно большая функция не имеет предела при х -» а, но иногда условно говорят, что ее предел равен бесконечности, и пишут: Нт /(*) = “, или

Х—*а

/(х) -» оо, при х -» а.

Если /(*) стремится к бесконечности при х -» а, принимая только положительные или только отрицательные значения, то соответственно пишут: Нт /(х) = + оо, Нт /(*) = — оо.

Х—*а х—*а

Если функция /(х) стремится к бесконечности при х-»оо; то пишут Нт /(х) = оо.

X—» “

Примером бесконечно большой функции является функция /(*)= 1/* при х -»0. В самом деле, при любом N>0 неравенство \Уx\>N будет выполнено,

Так как

Х5 х

Нт —-г— = Нт-5- = О,

(2+х) *-*о2+*

То функция а(х) = х5/(2+х2) есть бесконечно малая высшего порядка, чем функция р(х) = дЛ

Пример 13.10. Найти Нт —5-.

*->зх2-5х + 6

При х—>3 функции х-3, 81п (х — 3) являются эквивалентными бесконечно малыми. Поскольку при замене бесконечно малой функции $т(д:-3) эквивалентной ей функцией х-3 предел отношения не изменится, то Цт ап (х-3) =Нт зт(*-3) =

*->3х -5х + 6 *->3 (х-3)(х-2)