13.05. Сравнение бесконечно малых функций

Бесконечно малые а (х) и р (х) при х —»а называются величинами одного порядка, если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, т. е.

.. а(х) Р(х) 1 ,

Нт ¦ — с, или Нт - = — (с Ф 0).

*-»°р(х) *-><>а(х) с

В этом случае пишут: а (д;) = 0 (р (х)) при х -» а (читается: а (х) есть О большое от р (х) при х-*а).

Например, а(х) = 8Шх и р (х) = Зх при х-»0 являются бесконечно малыми одного порядка, так как Нт а(х)/р(х) = 1/3, зтх = 0(3х) при х 0.

Х-»0

Если предел отношения а (х)/р (х) при х -» а равен нулю (с = 0), то величина а (х) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с Р (х) (величина р (х) - бесконечно малая низшего порядка по сравнению с а (х) ). В данном случае применяется обозначение а(х) = о(Р(х)) при х —» а (читается: а(х) есть о малое от р (х) при х -» а ). Например, х2 = о (зт х) при х —» 0, поскольку

Х2 х

Нт-= Нт х Нт-= 0-1 = 0.

*-*0 31ПХ *-»0 х-»0 51ПХ

Функция р (х) называется бесконечно малой к-го порядка относительно функции а(х), если р(х) и (а(х))* - бесконечно малые одного порядка, т. е.

Нт = с (с* 0).

— («(*))*

Например, если а(х) = х, р(х) = х4, то при х —> 0 Р(х) - бесконечно малая четвертого порядка относительно бесконечно малой а(х) (но бесконечно малая второго порядка по сравнению с у (х) = х2).

Две бесконечно малые функции а(х) и р(х) называются эквивалентными (или равносильными) бесконечно малыми при х -» а, если предел их отношения равен единице, т. е.

Нт — - = 1, или Нт =1. х~*а р(х) *->“а(х)

Эквивалентность бесконечно малыхИОбозначается символом - Из формул (13.17) и (13.22) (см. п. 13.8) следует, что при

Теорема 13.6. Бесконечно малые функцииИЭквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Теорема 13.7. ЕслиПриИ существует

, то существует, причем

Следствие. ЕслиПриТо

При

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них (или только одну) можно заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной: еслиТо