13.04. Бесконечно малые функции и их свойства

Функция а = а (дс) называется бесконечно малой при х -» а (илн при х —у “), если ее предел равен нулю:

Нт а (дс) = О ( Нт а (дг) = 0).

Х—>о

Например, функция а (дс) = (дг-5)2 есть бесконечно малая при х -» 5, так как Иша(х)= Нт (х-5)2 = 0; функция а(дс) = 1/дс является бесконечно малой при

Х->5 х—> 5 *

Х -» о», поскольку

Нт а (дс) = 1йп — = 0.

Х-*- *->- X

Принимая во внимание определение предела функции, определение бесконечно малой функции можно сформулировать следующим образом.

Функция а = а (дс) называется бесконечно малой при х -> а, если, задав любое число е > 0, можно указать такое число 6 > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | х - а | < 6, выполняется неравенство | о. (х) | < е.

Свойства бесконечно малых выражаются следующими теоремами.

Теорема 13.3. Если функция у = .у(дс) имеет предел Ь при х—*а, то

У(х) = Ь+а.(х), у = Ь+а, (13.16)

Где а = а (дс) - бесконечно малая при х —» а. Обратное также верно: если выполнено равенство (13.16), то Нту(х)=6.

X —

Теорема 13.4. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при ха есть бесконечно малая функция при х-* а.