13.02. Предел последовательности

 

Числовой последовательностью (или последовательностью) называется функция

Определенная на множестве натуральных чисел. Каждое значение

Называется элементом последовательности, а число- его номером.

Числовую последовательность с элементомОбозначают либо ЛибоЛибо

Примеры числовых последовательностей:

Числовая последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов; среди них могут быть равные (см. примеры 1) и 3))-

ЧислоНазывается пределом последовательностиЕсли для любого числаНайдется такое натуральное числоЧто при всехВыполняется неравенство

Предел последовательностиОбозначаютПри

(читается:Стремится кКогдаСтремится к бесконечности).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, у которой нет предела, называется расходящейся.

ИнтервалНазываетсяОкрестностью точки о и обозначается

Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число а является пределом последовательности, если в любой его е-окрестности содержатся почти все члены, или вне этой окрестности находится лишь конечное число членов данной последовательности.

Из определения предела последовательности следует, что предел постоянной равен этой постояннойПоскольку в данном случае

Для любогоИз определения следует также, что по

Следовательность может иметь только один предел.

ПоследовательностьНазывается ограниченной сверху (снизу), если существует такое числоЧто(соответственноДля всех номеров

Последовательность, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.

Очевидно, последовательностьМраничена тогда и только тогда, когда существует такое числоЧтоДля всех номеров п.

Например, последовательностиОграничены, после

ДовательностьОграничена снизу, но не ограничена сверху, последовательность (и cos ли) не является ограниченной ни сверху, ни снизу.

Теорема 13.1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена

ЧислоНазывается верхней гранью последовательностиЕсли: 1) при всех; 2) для любогоСуществует такой номерЧто.Верх

Няя грань последовательностиОбозначаетсяИли

Аналогично определяется нижняя грань последовательностиИ обозначаетсяИли

В качестве примеров отметим, что

ПоследовательностьНазывается монотонно возрастающей (монотонно убывающей), если(соответственно) при всех, Монотонно возрастающие или монотонно убывающие последовательности называются просто монотонными.

Теорема 13.2. Всякая ограниченная сверху (снизу) монотонно возрастающая (.монотонно убывающая) последовательностьИмеет предел, причем

(соответственно

Если последовательностиИИмеют пределы, то пределы их суммы, разности, произведения, частного существуют и находятся по формулам

(13.4)

(13.5)

(13.6)

(13.7)

Пример 13.1. ПоследовательностьСходится и имеет предел

Действительно, каково бы ни было числоНайдется такое натураль

Ное число, чтоНеравен

СтвоБудет выполнено при всехЕсли, т. е. в качестве

N можно взять большее из двух последовательных натуральных чисел, между которыми заключено числоНапример, еслиЕсли

, тоИт. д.

Замечание. Одновременно показано, что последовательность имеет пределом нуль, т. е.

(13.8)

Пример 13.2. ПоследовательностьЯвляется расходящейся.

В самом деле, каково бы ни было числоВне егоОкрестности, например при Заведомо лежит бесконечное множество элементов данной последовательности (хотя среди них и много равных между собой); это означает, чтоНе является ее пределом.

Пример 13.3. Найти Нт  + ^.

«-*“ 6и +4п-9

Разделив числитель и знаменатель дроби на п2 и применив формулы (13.4) — (13.8), получим

- 2 э « о о/ </2 Нт (2 — 3/и +5/я2) ,

Вт 2-У3-” + 5 = Нт  = — -_=

И*->вв 6и + 4л-9 6 + 4/л-9/л Пт (6+4/л-9/л ) 3

И—»“

 

< Предыдущая		Следующая >