12.07. Разложение группы по подгруппе

 

 

Пусть дана группа С и некоторая ее' подгруппа Я. Фиксировав любой элемент х е С, рассмотрим множество элементов х»И, к — любой элемент Я. Это множество х° Я называется левым смежным классом группы С по подгруппе Я, порожденным элементом х. Два любых смежных класса группы С по подгруппе Я или совпадают, или не имеют ни одного общего элемента.

Вся группа С распадается на непересекающиеся левые смежные классы по подгруппе Я. Это разложение называется левосторонним разложением группы С по подгруппе Я. Очевидно, одним из левых смежных классов этого разложения будет сама подгруппа Я, этот смежный класс порождается элементом е (или любым элементом Ие Я, поскольку Л°Я = Я).

Аналогично вводится понятие правого смежного класса группы С по подгруппе Я, порожденного элементом х; это множество Я°х, т. е. множество всех элементов вида к°х, где х - фиксированный элемент С, И - любой элемент из Я. Аналогичным образом получается правостороннее разложение группы С по подгруппе Я. Если группа С абелева, то оба ее разложения по любой подгруппе (левостороннее и правостороннее) совпадают. В этом случае говорят просто о разложении группы по подгруппе. Приведем пример такого разложения.

Пусть С - аддитивная группа целых чисел и Я - ее подгруппа, состоящая из всех чисел, кратных к. Разобьем группу С на классы, относя к одному классу все те числа, которые при делении на к дают одинаковые остатки. Разложение данной группы О по указанной подгруппе Я состоит из к различных смежных классов, порождаемых соответственно числами 0,1,2,......, к -1. В классе, порождаемом числом /, где 0<1<к-1, собраны все те числа, которые при делении на число к дают остаток I.

Полученное разложение группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных к, при к = 3 можно представить следующим образом:

Я...-9-6-3 0 3 6 9...

1  + Я...-8-5-2 1 4 7 10...

2  + Я...-7-4-1 2 5 8 11...

Замечание. В некоммутативной группе левостороннее и правостороннее разложения могут оказаться различными. Обратимся к симметрической группе 53 (см. п. 12.4). Из таблицы Кэли для этой группы ввдно, что множество элементов I], Р2 образует подгруппу, обозначим ее В = {Рх, Рг). Левостороннее разложение группы 53 по подгруппе В состоит из классов В, Р5В= Р/1В = {РА, Р5}, РЪВ=РЬВ = {Р3,РЬ}, а правостороннее - из классов В, ВР6 = ВРА = {РА, Р6}, ВР5 = ВР3 = {Рг, Ръ), т. е. эти разложения различны. Отметим, что левостороннее и

Правостороннее разложение этой группы по ее подгруппе третьего порядка Совпадают; каждое из них состоит из двух классов:

Теорема 12.1 (Лагранжа). Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Следствие 1. Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

Следствие 2. Всякая конечная группа, порядок которой есть простое число, является циклической.

< Предыдущая		Следующая >