09.1. Линейное пространство. Подпространство

 

Линейным действительным пространством или векторным действительным пространством называется множество Vэлементов х, у, ж, для которых определены операции сложения элементов и умножения элемента на действительное число, удовлетворяющие следующим аксиомам: I. х + у = х + у, II. (х+у)+2=х+(у+-ж), III. Существует нулевой элемент 0 такой, что х+0 = х, IV. Для каждого х еУ существует противоположный элемент - х такой, что х + (-х) = О, V. 1х = х, VI. а(рх)= (ар)х, VII. а(х + у) = =ах+ау, VIII. (а+р)х = ах+рх.

Эти аксиомы выполняются соответственно для всех х, у, г е V, а, р е*К.

Элементы действительного линейного пространства называются векторами. Замечание. Аналогично определяется комплексное линейное пространство: вместо множества К действительных чисел рассматривается множестве С комплексных чисел.

Из определения линейного пространства вытекают следующие утверждения.

1.  В линейном пространстве имеется единственный нулевой элемент.

2.  Для любого элемента х линейного пространства существует единственны элемент - х.

3.  Для элемента - х противоположным будет элемент х.

4.  Для любого элементах произведение Ох = 0, где 0 - нуль, 0 - нулевой элемен

5.  Для любого элемента х (-1) х = - х, где (- х) - элемент, противоположный*

6.  Для любого числа а произведение аО = 0, где 0 - нулевой элемент.

7.  Если ах = 0 и а * 0, то х = 0.

8.  Если ах = 0 и х * 0, то а = 0.

Равенство ах = 0 выполняется тогда и только тогда, когда а = 0 или х = 0. Замечание. Сумму х+(-у) обозначают х - у и называют разноси

Элементов х и у.

Примеры линейных пространств.

1. Множество У3 всех свободных векторов а (о,, а2> а3), для которых оп]

Делены сложение и умножение вектора на число так, как в п. 3.2, является ли» ным пространством. Отметим, что роль нулевого элемента здесь играет ну вектор; для любого вектора а противоположным является - а. Аксиомы I - \ выполняются, о чем свидетельствуют формулы п. 3.2.

2.  Множество всех матриц размеромДля которых определены сложение матриц и умножение матрицы на число соответственно формулами (S.2), (S.4). Роль нулевого элемента здесь играет нулевая матрица; для матрицыПротивоположной является матрицаАксиомыВыполняются (см. п. 5.2, свойства 1-8 линейных операций над матрицами).

3.  МножествоВсех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числаДля которых операции сложения многочленов и умножения многочлена на действительное число определены обычными правилами. Нулевой элемент - многочлен, все коэффициенты которого равны нулю; для многочленаПротивоположным будет

Замечание. Множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу и, не является линейным пространством, так как сумма двух таких многочленов может оказаться многочленом степени ниже(т. е. не принадлежать рассматриваемому множеству).

4.  МножествоЭлементами которого являются упорядоченные совокупности и действительных чиселКаждый элемент этого множества будем обозначать одним символом, напримерИ писать

Действительные числа называют координатами элемента х. Линейные операции над элементамиОпределяются формулами

Отметим, что элементЯвляется нулевым,

Элемент  ___  - противоположным элементу

5.  МножествоВсех функцийОпределенных и непрерывных на отрезкеОперации сложения этих функций и умножения функции на число определяются обычными правилами. Нулевым элементом является функцияДля всех. Элементом, противоположным

Ъ

Элементу, будет

МножествоНазывается подпространством линейного пространства,

Если выполняются следующие условия: 1. В множествеОпределены те же операции, что и в множестве. 2. Если _, то3. Если, то . Очевидно, всякое подпространствоЛинейного пространстваЯвляется линейным пространством, т. е. вВыполняются аксиомыПрежде всего, в

Имеется нулевой элементЕсли,' тоДля любого элемента

Имеется противоположный элемент: еслиТо

Отметим, что нулевой элементЛинейного пространстваОбразует подпространство этого пространства, которое, называют нулевым подпространством.

Само линейное пространство V можно рассматривать как подпространство, этого пространства. Эти подпространства называются тривиальными, а все другие, если они имеются, - нетривиальными. Приведем примеры нетривиальных подпространств. 1. Множество У2 всех свободных векторов а (о,, а2), параллельных

Некоторой плоскости, для которых обычным образом определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, представляет подпространство линейного пространства У3. 2. Множество У, всех свободных векторов а (в,), параллельных некоторой прямой, также является подпространством линейного пространства У3. 3. Множество { Р„_,(*)} всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа и —41, является подпространством линейного пространства {Р„(х) }.

 

< Предыдущая		Следующая >