08.1. Алгебраические многочлены
Алгебраическим многочленом степени и называется сумма целых неотрицательных степеней переменной х, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, т. е. выражение вида
Для сокращенной записи многочленов употребляют обозначения
, 
И т. п.
Два многочлена
И
Считают равными и пишут
В том и
Только в том случае, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
Теорема 8.1. Для любых двух многочленов
И
Можно найти такие многочлены
И
, что
Причем степень
Меньше степени
Или же
. Многочлены
И
Определяются однозначно.
Многочлен
Называется частным от деления
На
, а
-
Остатком от этого деления.
Замечание. Формулу (8.1) можно записать так:
Если остаток от деления
На
Равен нулю, то многочлен
Называется делителем многочлена
, в этом случае говорят, что
Делится на 
(или нацело делится на
).
Многочлен
Тогда и только тогда является делителем многочлена
Когда существует многочлен
Удовлетворяющий равенству
Многочлен
Называется общим делителем для многочленов
И
, если он является делителем каждого из этих многочленов.
Два многочлена называются взаимно простыми, если они не имеют других общих делителей, кроме многочленов нулевой степени (т. е. постоянных).
Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов
И
называется общий делитель
Который делится на любой другой общий де
Литель этих многочленов. Наибольший общий делитель многочленов
И
Обозначается так:
Наибольший общий делитель многочленов
И
Можно найти с по
Мощью алгоритма Евклида. Если
То
Замечание. Наибольший общий делитель многочленов определен с точностью до постоянного множителя: если
— наибольший общий дели
Тель многочленов
И
То
, где
- любое 'число, отличное от
Нуля, также является их наибольшим общим делителем.
Пример 8.1. Найти чаЛ-ное
И остаток
Прн делении много
Члена
На многочлен
. Выразить
Через
И
Выполняя деление, находим
Итак,
Пример 8.2. Найти общий наибольший делитель двух многочленов 
Произведя деление
На
, получим первое из равенств (8.2):
, так как
И
Разделив
На
Найдем второе из указанных равенств:
, поскольку
И
Остаток
Нацело делится на остаток
Следовательно,
Является общим наибольшим делите
Лем данных многочленов. В соответствии с замечанием общим наибольшим делителем будет также
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
