07.6. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Произведение двух комплексных чисел

ГдеНаходится по формуле

(7.30)

(7.31)

Из этой формулы следует, что

Т. е. модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма аргументов множителей является аргументом их произведения.

Если, то

(7.32)

Откуда

Эти формулы означают, что модуль частного равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного двух комплексных чисел.

ЕслиТо

(7.33)

Откуда

Т. е. модуль комплексного числа, обратного числу, равен обратной величине модуля числаА его главное значение аргумента отличается от главного значения аргументаЛишь знаком.

Если— натуральное число иТо

(7.34)

Откуда

Формула (7.34) называется формулой Муавра. ПриОна принимает вид

КорнемСтепени из комплексного числаНазывается такое комплексное числоЧто

Извлечение корняСтепени из комплексного числаВсе

Гда возможно и даетРазличных значений:

(7.35)

Где

Из формул видно, что все п значений корняСтепени из комплексного числа

Расположены на окружности радиусаС центром в точке нуль и делят эту

Окружность наРавных частей.

Отметим, что кореньСтепени из действительного числа также имеет п различных значений. Среди этих значений действительных будет два, одно или ни одного в зависимости от знакаИ четностиКореньСтепени из нуля имеет