07.5. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа
Комплексное число
Заданное в алгебраической форме, можно пред
Ставить и в другом ввде Изобразим число
Точкой
Комплексной плос
Кости. Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рис. 7.2). Модулем комплексного числа
Называют длину
Радиуса-вектора
Точки
Изобра
Жающей данное число. Модуль комплексного числа
Обозначают символом
Следовательно, по определению
(7.23)
Так как
(см. рис. 7.2), то
(7.24)
Т. е. модуль комплексного числа равен арифметическому значению корня квадратного из суммы квадратов его действительной и мнимой частей. Если
, т. е. число
Является действительным, причем
, то формула (7.24) принимает вид
Аргументом комплексного числа
Называют величину угла «р наклона
Радиуса-вектора
Точки
К положительной полуоси
. Аргумент
Комплексного числа
Обозначают символом
Угол
Может принимать
(7.27)
(7-28)
(7.29)
’+Ь*, С05ф = й/-\/? +Ь*
Выражение, стоящее в правой части формулы (7.26), называют тригонометрической формой комплексного числа. Отметим особенности тригонометрической формы: 1) первый множитель — неотрицательное число, г^О; 2) записаны косинус и синус одного и того же аргумента;
3) мнимая единица умножена на $т ф.
Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2л. Следовательно, если г, (С05ф, + »5Шф,) = г2 (С08ф2 + /зшф2),
То
Г1 ~г2> Фг =Ф| +2кл (к = 0, ±1, ±2,...); и обратно, из равенств (7.29) следует формула (7.28).
Если комплексное число а = а+Ы задано в тригонометрической форме <х = г(со5ф+*зшф), то комплексно-сопряженное число а = а—Ы записывается
В форме а = г (сов (-ф) +«ып (-ф)); поэтому | а | = | а |, аг§а =-аг%а (рис. 7.3).
УПример 7.6. Комплексное число а = 2ч/2/(1 - г) записать в алгебраической и тригонометрической форме.
Умножая числитель и знаменатель данной дроби на число, сопряженное знаменателю, получаем
2л/2 2-У2 (! + ») _ 2^2 (1-и) 2^2+12^2 , с 1-« (1—0(1+0 1 — «2 2
Любые действительные значения. Аргумент комплексного числа а имеет бесконечное множество значений, отличающихся одно от другого на число, кратное 2я. Аргумент не определен лишь для числа 0, модуль которого равен нулю. Среди значений аргумента комплексного числа о Ф 0 существует одно й только одно, заключенное между - я и я, включая последнее значение. Его называют главным значением и обозначают аг§а. Итак, аргумент комплексного числа удовлетворяет соотношениям Ах%а = ас^о.+2пк (к=0, ±1, ±2,...), - жат^сс^я.
С помощью модуля и аргумента комплексное число а = а+Ы можно представить в другой форме. Поскольку
А = гсоз<р, Ь = гзтф, (7.25)
То
А+Ы =г (со5ф+15тф) (г>0), (7.26)
Где
Г = 4?
Это - алгебраическая форма данного числа: 
Применяя формулы (7.27), находим
Откуда главное значение 
. Следовательно, тригонометрическая форма данного числа имеет вид 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
