07.4. Действия над комплексными числами

 

Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами (см. формулы (7.3), (7.4), (7.6), (7.7)) следует, что

(7.14)

(7.15)

(7-16)

(7.17)

Формула (7.14) определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула (7.15) означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.

Отметим, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженныхчисел Являются действительными числами:

Арифметические действия над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и действия над действительными числами. Если

— любые комплексные числа, то верны следующие равенства:

ПолагаяВ формуле (7.17), получаем

(7.18)

Формулой (7.18) определяется число, обратное комплексному числу

Натуральные степени мнимой единицы < принимают лишь четыре значения: Определяемые формулами

(7.19)

Где

При возведении комплексного числа а = а+ Ы в степень и (я - натуральное число) пользуются формулой бинома Ньютона:



(а+Ы)" = а" + па"-'(Ы)+П дв-2(Ы)2 +

+ —V. а”~\ьО3 + - +(&')"•  (7-20)

В правой части этого равенства заменяют степени мнимой единицы по формулам (7.19) и приводят подобные члены, в результате получают Некоторое комплексное число с+<Л.

Квадратным корнем из комплексного числа называют комплексное число, квадрат которого равен данному комплексному числу:

Т! а+Ы = и+ы, если (и+п)2 =а+Ьй  (7-21)

Числа и и V определяются из равенств

И2 = (о + у1а2+Ь2)/г, V =(-а + 4а2+Ь2 )Д,  (7.22)

% *


Причем и и V будут действительными, так как при любых а и Ъ выражения <з + >/<а2 +Ь2 и - а+у! а2 +Ь2 являются положительными. Знаки и и V выбирают так, чтобы выполнялось равенство 2т> = Ь. Извлечение квадратного корня из комплексного числа а+Ы всегда возможно и дает два значения и, + «V,, щ + г»г, различающихся лишь знаком.






Пример 7.1. Даны два комплексных числа 5+/ и 2+3/. Найти их сумму, разность, произведение и частное.

В соответствии с формулами (7.14) — (7.17) получаем

(5+/)+(2+3/)у (5+2)+(1 + 3)/=7+4/,

(5+/) - (2+3») = (5 - 2)+(1 - 3) / = 3 - 2/,

(5+/)(2+3/) = 10+15/+2/+3/2 = 7+17/,

5+/ _ (5+/)(2-3/) __ 10—15/+2/-3/2 = 13-13/ _ .

2+3/ (2+3/)(2-3/) 4 - 9/2  13  *'

Пример 7.2. Возвести в указанные степени данные комплексные числа:

(3+4/)2, (1 + 2/)3, (2+04-

Применяя формулы (7.19) и (7.20) при л = 2, и=3, л = 4, получаем

¦ (3+4/)2 =32 +2-12/+(4/)2 = 9+24/+16/2 =-7+24/,

(1+2/)3 =1+6/+12/2 +8/3 =1+6/—12—8*=—11 — 2/,

(2+/)4 =24 +4-23»'+6-4/2 +4-2/3 +/4 =16+32*—24—8/+1 =-7+24/.

Пример 7.3. Извлечь корень квадратный из числа ОбозначимПоскольку в данном случаеТо

Формулы (7.22) примут вид

Так какПолучено два значения

Кория:

Пример 7.4. Найти значение выраженияПри

Поскольку

Пример 7.5. Показать, что комплексное числоЯвляется корнем

Уравнения

Так какТо

- корень уравнения.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!