05.5. Обратная матрица

 

Матрицей, обратной квадратной матрице, называется квадратная матрица , удовлетворяющая равенствам

(5Л2)

Где ?- единичная матрица.

Квадратная матрица называется невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной или особенной.

Всякая невырожденная квадратная матрица

(5ЛЗ)

Имеет единственную обратную матрицу

(5.14)

Где— алгебраическое дополнение элементаМатрицыОтметим, что алгебраические дополнения элементов каждой строки матрицыВ формуле (5.14) записаны в столбец с тем же номером.

В случаяхФормулы (5.13) и (5.14) принимают соответственно вид

(5.15)

(5.16)

Теорема 5.4. Произвольную невырожденную матрицуС помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице

(5.17)

Теорема 5.5. Если к единичной матрице порядка п применить те же элементарные преобразования только над строками и в том же порядке, с помощью которых невырожденная квадратная матрицаПорядкаПриводится к единичной, то полученная при этом матрица будет-обратной матрице.

Эта теорема дает способ нахождения матрицы, обратной данной, с помощью элементарных преобразований. При этом удобно записывать матрицыРядом, отделяя их вертикальной чертой (рассматривать расширенную матрицуИ одновременно производить элементарные преобразования над строками матриц результате преобразования строк матрицаПреобразуется в матрицу

(5.18)

Этот метод вычисления обратной матрицы называют методом Жордана.

Замечание 1. Теорема 5.5. верна применительно к элементарным преобразованиям над строками. Когда преобразования производятся над столбцами, то матрицу

Располагают под матрицейРассматривают расширенную матрицу, тогда

(5.19)

Замечание 2. Если в соотношении (5.18) на место единичной матрицы справа от вертикальной черты поставить матрицу, то в результате соответствующих преобразований получим матрицу

Замечание 3. Еели в соотношении (5.19) на место единичной матрицы под горизонтальной чертой поставить матрицу В, то в результате соответствующих преобразований получим матрицу

(5.21)

Обратная матрица используется при решении матричных уравнений вида

(5.22)

Где- невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка. Эти уравнения имеют соответственно решения'

(5.23)

МатрицыМожно найти с помощью элементарных преобразова

Ний в соответствии с соотношениями (5.20) й (5.21).

Пример 5.11. Найти матрицу, обратную матрице

Так какТо матрицаИмеет обратную. Поскольку

То по второй из формул (5.15) находим

Пример 5.12. Найти матрицу, обратную матрице Вычислим определитель данной матрицы:

Так какТо матрицаИмеет обратную матрицу. Найдем алгебраиче

Ские дополнения элементов матрицы:

Вторая матрица получена из первой в результате следующих элементарных преобразований: элементы первой строки умножены наИ сложены с элементами второй строки, элементы первой строки умножены наИ сложены с элементами третьей строки.

Умножив последнюю строку второй матрицы на, получим третью матрицу (матрица Л приведена к верхней треугольной форме).

По второй из формул (5.16) находим

Пример 5.13. С помощью элементарных преобразований найти матрицу , обратную матрице

Составляем матрицуИ преобразуем ее; приводя матрицуК единич

Ной, матрицаБудет приведена к

Умножая третью строку наИ прибавляя ее ко второй, а затем к первой

Строке, получаем четвертую матрицу. Умножая ее вторую строку наИ прибавляя к первой строке, получаем пятую матрицу: слева от черты - единичная матрица, справа-г матрица, обратная исходной матрице

Замечание. Элементарные преобразования производятся в два этапа: 1) матрицаПреобразуется к верхней треугольной форме с единичными диагональными элементами (путем преобразования строк «сверху вниз»); 2) полученная матрица преобразуется к единичной (путем преобразования строк «Снизу вверх»).  - V

Пример 5.14. Даны две матрицы

Найти матрицу, удовлетворяющую уравнению

Это уравнение разрешимо, так какЕго решение

(см. первую из формул (5.23)). МатрицуНайдем с помощью элементарных

Преобразований в соответствии с соотношением (5.20). Составляем матрицу , преобразуем ее, Приводя матрицуК единичной:

Отсюда следует, что

Называя шагом переход от одной матрицы к другой, дадим пояснения к выполненным преобразованиям,Iiiar - поменяли местами первую и третьюстроки (чтобы).Шаг - перЬую строку умножили наИ прибавили ко второй;

Первую строку умйожйли на ‘И прибавили к третьей.Шаг - третью строку умножили наИ прибавили ко второй.Шаг - вТЙруЮ 'Строку умножили на Шаг - вторую строку умножили наИ прибавили к третьей.Шаг - третью строку умножили на. VII шаг - третью строку умножили на^И прибавили к первой; третью строку умножили наИ прибавили ко второй:Шаг - вторую строку умножили наИ прибавили к первой.

< Предыдущая		Следующая >