05.3. Произведение матриц. Многочлены от матриц

Произведение определяется для квадратных матриц одного и того же порядка, а также для прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы множимого равно числу строк матрицы множителя.

Произведением матрицыНа матрицуНазывается та

Кая матрица, для которой

(5.6)

Т. е. элементМатрицы равен - сумме произведений элементов ?-й строки матрицыНа соответствующие элементыСтолбца матрицыМатрица ИмеетСтрок (как и матрица) ИСтолбцов (как и матрица). Произведение матрицыНа матрицуОбозначается

Замечание. Из того, что матрицуМожно умножить на, не следует, что матрицу В можно умножать наОбщем случаеБелиТо

Матрицы А и В называются перестановочными или коммутативными.

При умножении матриц единичная матрица Е играет роль единицы, а нулевая матрица— роль нуля, так как

Умножение матриц обладает следующими свойствами. Если имеют смысл соответствующие действия, то выполняются равенства:

Где- любое действительное число.

Отметим, что, где штрихом обозначена матрица, транспо

Нированная данной.

Целой положительной степеньюКвадратной матрицыНазывается

ПроизкДение к матриц, каждая из которых равна, т. е.. Мат

РицаИмеет тот же порядок, что и матрица. Нулевой степенью квадратной матрицыНазывается единичная матрица того же порядка, что и, т. е.

Первой степеньюМатрицыНазывается сама матрица, т. е. Многочленом (или полиномом) степени(-> целое неотрицательное число) от квадратной матрицыНазывается выражение вида

Где- любые числа, причемОбозначим многочлен от

МатрицыЧерез, тогда по определению

(5.7)

Из определения следует, что многочлен от матрицы можно получить, если в обычный многочленВместоПодставить

Квадратную матрицу (и учесть, что).

Пусть дан многочлен, ЕслиЯвляется нулевой матрицей, т. е.

То матрицаНазывается корнем многочлена, а многочлен

— аннулирующим многочленом для матрицы..

Пример 5.3. Найти произведение,ИМатриц

Обе матрицы являются квадратными матрицамиодного и того же порядка (второго), поэтому можно получить произведенияИПрименяя формулу

(5.6) для случаяПолучаем

Отметим, чтоТ. е. результат умножения зависит от порядка множителей.

Пример S.4. Даны две матрицы

Найти произведение. Можно ли получить произведение?

Число столбцов матрицыРавно числу строк матрицы(ширина матрицы равна высоте матрицы), поэтому произведениеОпределено. Умножая строку матрицыНа столбец матрицы, по формуле (5.6) получаем