04.09. Поверхности второго порядка

 

Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая алгебраическим уравнением второй степени относительно текущих координат х, у, z.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка:

. (эллипсоид, рис. 4.13);  (4.51)

(однополосный гиперболоид, рис. 4.14);  (4.52)

(двуполостный гиперболоид, рис 4.15);  (4.53)

'(конус, рис. 4.16);  (4.54)

(эллиптический параболоид, рис. 4.17);  (4.55)

(эллиптический цилиндр, рис. 4.19);  (4.57)

(гиперболический цилийдр, рис. 4.2Q);  (4.58)

(параболический цилиндр, рис. 4:21);  (4.59)

(пара пересекающихся плоскостей);  (4.60)

(пара параллельных плоскостей);  (4.61)

(пара совпадающих плоскостей).  (4.62)

Замечание, 1. Уравнение (4.51) приПринимает вид

Г. -5. .. (4.63)

И ^определяет сферу рад^сёС центром-в начале Координат.' -

Общее уравнение' второй степени относительноМеняет бытьприведейо к одному из уравнений (4.51) - (4.63) или к одному из следующих уравнений:

(4.64)

•г :Ki. JC-- •: ' l(445)

I!7  (4.66)

• ' :^7) •

(4.68)

Уравнениям (4.64), (4.66) и (4.68) не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства; уравнению (4.65) удовлетворяют координаты единственной точкиУравнению (4.67) удовлетворяют координаты точек, лежащих на

Прямой

3 ам е ч а ни е 2. Если уравнение

(4.69)

(т. е. уравнение, у которого коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а коэффициенты при произведениях координат равны нулю) определяет некоторую поверхность, то этой поверхностью является сфера Уравнение (4.69) в этом случае может быть приведено к виду

(4.70)

Уравнение (4.70) является уравнением сферы радиусаС центром в точке

Прямые, целиком лежащие на некоторой поверхности, называются прямолинейными образующими данной поверхности.

Однополосный гиперболоид (4.52) имеет два семейства прямолинейных образующих:

Гиперболический параболоид (4.56) также имеет два семейства прямолинейных образующих:

Пример 4.24. Определить вид и параметры поверхности второго порядка, заданной уравнением

Преобразуем это уравнение, выделив в левой части полные квадраты:

Введем новые координаты по формулам (3.17):

(I)

Тогда уравнение примет ввд

Полученное уравнение определяет эллипсоид (см. (4.51)), для которого

Центр эллипсоида находится в точкеВ новой системе

Координат центром является точка с координатамиИз этих ра

Венств и формул (I) находимТ. е. координаты точки

Пример 4.25. Определить вид и параметры поверхности

Преобразуем это уравнение:

Переходя к новым координатам по формуламПолу

Чаем

Или

Это уравнение определяет однополостный гиперболоид (см. (4.52)), для которого С центром в точке

Пример 4.26. Доказать, что уравнениеОпределяет гиперболиче

Ский параболоид.

Введем новые координаты по формуламТогда

Уравнение примет вид

Полученное уравнение является уравнением вида (4.56), для которого,

; оно определяет гиперболический параболоид.

Пример 4.27. Доказать что уравнениеОпределяет конус.

Переходя к новым координатам по формуламПо

Лучаем, или

Полученное уравнение является уравнением вида (4.54), для которого , оно определяет конус.

< Предыдущая		Следующая >