04.04. Различные виды уравнений прямой в пространстве
Прямую в пространстве можно задать различными способами (точкой и вектором, параллельной ей; двумя точками и т. п.), в связи с чем рассматривают различные виды ее уравнений.
Векторно-параметрическое уравнение прямой. Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный ей. Если даны точка И. направляющий векторПрямой (рис. 4.8), то
(4.18)
Где- радиус-вектор точки- радиус-вектор точки
- переменная величина (параметр). Уравнение (4.18) называется векторно-параметрическим уравнением прямой, проходящей через точкуИ имеющей направляющий вектор. Равенство (4.18) следует из определения суммы векторов и необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов.
Параметрические уравнения прямой. Переходя от векторного соотношения (4.18) к координатным, получаем
(4.19)
Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точкуН имеющей направляющий вектор
Канонические уравнения прямой. Выражая параметр t из уравнений (4.19) н приравнивая полученные выражения, находим, что
(4.20)
Уравнения (4.20) называются каноническими уравнениями прямой, проходящей через точкуИ имеющей направляющий вектор
Уравнение прямой, проходящей через две точки. Если даны две точки
То в качестве ее направляющего вектора можно
Взять вектор
Поэтому уравнения (4.20) примут вид
(4.21)
Пример 4.10. Записать параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точкуПараллельно вектору
Так как в данном случае
Параметрические уравнения (4Л 9) принимают вид а канонические уравнения (4.20) запишутся так:
Пример 4.11. Составить уравнения прямой; проходящей через точки Привести эти уравнения к параметрическому виду. ¦
Поскольку, то уравнения (4.21) примут вид
, или
Обозначая равные отношения буквойПолучаем параметрические уравнения данной прямой:
< Предыдущая | Следующая > |
---|