04.03. Различные виды уравнения плоскости

Плоскость в пространстве можно задать различными способами (точкой и век-тором, перпендикулярном плоскости, тремя точками и т. д.), в зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору. Ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называют ее нормальным вектором. Если дана точкаИ нормальный векторПлоскости, то ее уравнение имеет вид

(4.9)

В этом уравнении коэффициенты А, В, С являются координатами нормального вектора Равенство (4.9) выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов:Где

- любая точка плоскости (рис. 4.3).

Общее уравнение плоскости. Уравнение первой степени относительно декартовых координат

(4.10)

ГдеОдновременно в нуль не обращаются, т. е.

(4.11)

Определяет плоскость в пространстве. Уравнение (4.10) называется общим уравнением плоскости. Отметим частные случаи этого уравнения.

Если, то уравнение (4.10) принимает вид

И определяет плоскость, проходящую через начало координат (рис. 4.4, а; координаты _Удовлетворяют данному уравнению). ?

Если, то уравнение (4.10) принимает вид

Н определяет плоскость, параллельную оси(рис. 4.4, б); нормальный вектор Перпендикулярен оси, ибо

ЕслиТо уравнение (4.10) принимает вид

И определяет плоскость, проходящую через ось(рис. 4.4, в; плоскость параллельна осиИ проходит через начало координат; в этом случаеВ силу условия (4.11)).

ЕслиТо уравнение (4.10) принимает вид

Или

И определяет плоскость, параллельную плоскостиИли перпендикулярную оси Ох (рис. 4.4, г; нормальный векторПерпендикулярен плоскости).

ЕслиТо уравнение (4.10) принимает вид

Или(так как)

И определяет координатную плоскость

Замечание. Если в уравнении (4.10) свободный член равен нулю (), то плоскость проходит через начало координат; если коэффициент прн одной из текущих координат равен нулю, то плоскость параллельна соответствующей координатной оси (например, если, то плоскость параллельна оси); еелк в нуль обращаются свободный член и один из коэффициентов при текущей координате, то плоскость проходит через соответствующую ось (еслиН, то плоскость

Проходит через ось); если равны нулю два коэффициента при текущих координатах, то плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости (когда Плоскость параллельна шЮскостн); если обращаются в нуль свободный член и два коэффициента при текущих координатах, то плоскость совпадает с соответствующей координатной плоскостью (когда плоскость совпадает с плоскостью <).

Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на осях координат. Если все коэффициенты уравнения (4.10) и его свободный член отличны от нуля, то уравнение можно привести к виду

(4.12)

ГдеЧислаОзначают величины направ-

Ленных отрезков, отсекаемых на осях координат. Этим объясняется название данного вида уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости. Уравнение

(4.13)

Где- углы, образованные нормальным вектором плоскости с координат

Ными осямиСоответственно,- длина перпендикуляра, опушенного

Из начала координат на плоскость, называется нормальным (или нормированным) уравнением плоскости. Чтобы привести общее уравнение плоскости к виду (4.13), необходимо умножить его на нормирующий множитель

Где знак выбирается противоположным знакуПосле умножения уравнения

(4.10) на числоПолучаем нормированное уравнение плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Если даны три точки

Не лежащие на одной прямой, то уравнение плоскости, проходящей через эти точки, имеет вид

(4.14)

Равенство (4.14) выражает необходимое и достаточное условие (см. (3.36)) компланарности трех векторов

Где

— любая точка данной плоскости (рис. 4.5).

Уравнение плоскости, проходящей через две точки и параллельной данному вектору. Если задан векторИ две точки

Причем векторыИ. неколлицеарны (рис. 4.6), то уравне-

Ние плоскости, проходящей через эту точку параллельно вектору а, имеет вид

(4-15)

Равенство (4.15) выражает необходимое и достаточное, условие компланарности трех векторов

- любая точка данной rmoikOtm

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум неколлннеарным векторам. Бели даны два неколлинеарных вектора (рис. 4.7)И точка: то уравнение плос

Кости, проходящей через данную точку параллельно векторам а и Ь, имеет вид

(4.16)

Равенство (4.16) выражает необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов:Где- произвольная точка данной плоскости.

Параметрические уравнения плоскости. Если даны два неколлинеарных вектораИ точкаТо параметрические уравнения плоскости, проходящей через эту точку параллельно данным векторам, имеют вид

(4-17)

Уравнения (4.17) следуют из равенстваГде -

Любая точка плоскости (равенство

Означает, что любой вектор

Можно разложить по векторам).

Пример 4.6. Записать уравнение плоскости,. проходящей через точку И имеющей нормальный вектор

Так как в данном случае

То уравнение (4.9) принимает вид

Пример 4.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Параллельно векторам Данные векторы неколлинеарны, так как их координаты не пропорциональны.