03.04. Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Ра-диусом-вектором точкиНазывается векторТочка приложения которого

Совпадает с началом координат, а конец находится в точке М (рис. 3.9).

Декартовыми прямоугольными координатамиВектораНазываются его

Проекции на координатные оси

Каждая из записей

(3.8)

(3.9)

Означает что вектор г имеет координаты

Если- декартовы прямоугольные координаты точки,то

Т. е. координаты радиуса-вектора равны координатам точки

Введем в рассмотрение единичные векторыКоординатных осей (их

Называют ортами) и векторы

Где-

Вершины прямоугольного параллелепипеда, для которогоЯвляется диагональю- проекции точки М на координатные оси;

- проекции вектора на координатные оси). По определению суммыПоэтому

(3.10)

Формула (3.10) выражает разложение вектора г по базисным векторам Векторы стоящие в правой части формулы (3.10), называются составляющими или компонентами вектора г.

На основании теоремы о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда получаем формулу, выражающую длину вектора (3.9) или (3.10) через его координаты:

(3.11)

Из равенства (3.3) следует, что равные векторы имеют равные координаты, поэтому координаты вектора не зависят от точки его приложения. Координатами любого вектора называются его проекции на координатные оси.

Направляющими косинусами вектора называются косинусы угловОбра