02.09. Упрощение общего уравнения второй степени

 

Общее уравнение второй степени относительно прямоугольных декартовых координат

. „ , .. ,(2.51)

При повороте координатных осей на угол а, для которого

(2.52)

Преобразуется в уравнениеЯвляющееся уравне

Нием вида (2.41).

Формулы преобразования координат имеют вид

(2.53)

Причем

(2.54)

(2.55)

Где^^ определяемся формул^й»(2.52)У  ’ у™ ~%Т. . „ГГ

'Хравийние ф.51) Определяет Диш пустое множество, илйтЪчку, или пару прямы^ (пер^кавдщи^ся, параллельных, совпавйщх), ищи одну из линий (окружность, гшшпс, гипербшту, параболу). Пар/црямых называют распадающейся линией второго порядка.  , ‘ •  ;  > \.

Пример 2.30. Построить линию, дпределяемую уравнением '^ч-

Это частный случай уравнения (2.51), для которого

По формуле (2.52) имеемВозь

МемТ. е.ТогдаФормулы (2.53) прини

Мают ввд

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем

Преобразуем левую часть последнего уравнения, вьщелив в ней полные квадраты: Переходя к новым координатам по формулам

Последнее уравнение записываем так:

(III)

Каноническое уравнение (III) определяет эллипс с полуосямиПо

Строим этот эллипс относительно новой системы декартовых прямоугольных координатУгол

Наклона осиК осиУже

Известен, осталось опре

Делить старые координаты точки . В системеЭта точка

' (центр эллипса) имеет координаты По формулам (II)

Имеем

ОткудаС

Помощью формул (I) находим координаты точкиВ старой системе координат

Строим новую систему координатИ сам эллипс по его канониче

Скому уравнению (III) (рис. 2,13).

Пример 2.31. Построить линию, определяемую уравнением

В данном случаеПо формуле (2.52) находим

. В формулы (2.53) входятИНайдем их значения с помощью формул (2.54) и (2.55), в которых знак можно выбрать по своему усмотрению. Выбрав везде знак плюс, получим

Формулы (2.53) принимают вид

(IV)

Подставим эти выражения в исходное уравнение и преобразуем его:

Перейдем к новым координатам по формулам

(V)

Последнее. уравнение в новых координатах примет вид

Или

Это каноническое уравнение определяет гиперболу с полуосями причем действительной осью будет ось. Построим гиперболу в новой системе координат. Найдем сначала старые координаты точки, в которой находится центр гиперболы. Для этой точкиПо формуламПолучаем

С помощью формулНаходим

Через точкуПроводим ось, для которойИ ось, перпендикулярную оси В системе координатСтроим гиперболу по ее каноническому уравнению (рис. 2.16).

Пример 2.32. Построить линию, определяемую уравнением

ПосколькуТо по формуле (2.52)

Формулы (2.53) принимают вид

(VI)

Подставим эти выражения в исходное уравнение и преобразуем его:

Перейдем к новым координатам по формулам

(VII)

В новых координатах последнее уравнение принимает вид

Или

Это уравнениеопределяет параболу. Вершина параболы находится в точке, для которойНайдем старые координаты этой точки. По формулам (VII)

НаходимС помощью формул (VI) получаем

Строим систему координатИ параболу по ее каноническому уравнению (рис. 2.17).

< Предыдущая		Следующая >