02.07. Некоторые другие виды уравнений линий второго порядка

УравнениеПриводится к видуИ определяет парабо

Лу с осью, параллельной оси

УравнениеПриводится к видуИ определяет пара

Болу с осью, параллельной оси

Равносторонняя гипербола имеет уравнение (2.30), а в системе координат, ося-- ми которой являются ее асимптоты, определяется уравнением

(2.39)

Уравнение

Приводится к виду (2.39) и определяет гиперболу.

Параметрические уравнения эллипсаИмеют вид

Параметрические уравнения гиперболыИмеют вид

А также

Где- гиперболические функции аргумента(см. п. 13.11).

Параметрические уравнения параболыМожно записать так:

Уравнение

(2.40)

Определяет эллипс приГиперболу при, параболу при. В слу

ЧаеЭто уравнение принимает вид

Где, а в случаеГдеИмеют те же

Выражения.

Уравнение (2.40) называют уравнением эллипса, гиперболы, параболы, отнесенных к вершине; начало декартовой прямоугольной системы координат находится в вершине линии - точке пересечения с координатной осью (рис. 2.9).

Эллипс, гиперболу, параболу называют каноническими сечениями. В сечении конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 2.10), получаются эти линии, а именно эллипс (сечение одной полости конуса плоскостью, не перпецди-

Пример 2.25. Построить линию, определяемую уравнением Преобразуя это уравнение, получаем

Перейдем к новым координатам по формуламВ новых

Координатах уравнение принимает вид, или; оно определяет

Параболу. Строим системы координатИ, последнею с началом в точке

, и саму параболу - в новой системе координат по ее каноническому уравнению (рис. 2.11).

Пример 2.26. Построить линию, определяемую уравнением

Кулярной его оси и не параллельно образующей), парабола (сечение плоскостью, параллельной его образующей), гипербола (речение плоскостью обеих полостей конуса).