02.03.  Эллипс

 

Эллипсом называют геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть постоянная величина.

Каноническое уравнение эллипса

(2.21)

Где- большая,- малая полуоси (рис. 2.4).

Координаты фокусов эллипса, определяемого уравнением (2.21):

Т. е.Где

(2.22)

Эксцентриситетом эллипса е называют отношение фокусного расстоянияК длине большой оси

Фокальными радиусами точкиЭллипса называют отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами.Их длиныМожно вычислить по формулам

(2.24)

Директрисами эллипса (2.21) называют прямые, определяемые уравнениями

Пример 2.14. Какую линию определяет уравнение?

Разделим это уравнение почленно на

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.21), заключаем, что оно определяет эллипс с полуосями

Найдем фокусы этого эллипса. Из формулы (2.22) следует, что; поскольку в

Данном случае Следовательно, фокусы эллипса находятся в точках

Пример 2.15. В прямоугольной декартовой системе координат построить линию, определяемую уравнением

Преобразуем это уравнение, возводя в квадрат обе его части:

Последнее уравнение определяет эллипс с полуосямиЕсли решить

Это уравнение относительно, получим

В условии задачи дано второе из этих уравнений. Оно определяет не весь эллипс, а только ту его часть, для точек которойТ. е. половину эллипса, расположенную ниже оси

Пример 2.16. Записать каноническое уравнение эллипса, проходящего

Через точки

Каноническое уравнение эллипса имеет видТак как точкиИ

Лежат на эллипсе, то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса:

Решая полученную систему уравнений, находим, что

Таким образом, получено каноническое уравнение эллипса

< Предыдущая		Следующая >