02.01. Прямая на плоскости

Прямую линию на плоскости относительно системы декартовых прямоугольных координат можно задать различными способами. Прямая однозначно определяется углом, образуемым ею с осью, и величиной направленного отрезка, отсекаемого на осиКоординатами двух точек и т. п.

Различные виды уравнения прямой иа плоскости. Прямая, параллельная осиПрямоугольной декартовой системы координат (рис. 2.1), пересекающая осьВ точке, имеет уравнение

(2.1)

Угловым коэффициентом прямой называют тангенс угла а наклона ее к положительной полуосиПрямоугольной декартовой системы координат

Угловой коэффициент прямой через координаты двух ее различных точек Определяется формулой

(2.2)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид

(2.3)

Где— угловой коэффициент,— величина направленного отрезка

Отсекаемого на оси(рис. 2.2).

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициентИ проходящей через данную точку, записывается так:

(2.4)

Уравнение прямой проходящей через две данные точки

(2.5)

Параметрические уравнения прямой проходящей через эти точки:

(2.6)

Где t принимает все действительные значения.

Уравнением прямой в отрезках называют уравнение

(2.7)

Где- величины направленных отрезков, отсекаемых соответст

Венно на осиИ оси

Общим уравнением прямой называют уравнение,

(2.8)

В которомИОдновременно в нуль не обращаются, т. е.

Пример 2.1. Составить параметрические уравнения сторон треугольника, вершины которого находятся в точках

Составим сначала уравнения прямых, на которых лежат стороны соответственно. Используя уравнение (2.5), получаем

Обозначим буквойРавные отношения, получим параметрические уравнения этих прямых:

Введя ограничения на изменение параметра *, получим уравнения соответствующих сторон треугольника

Пример 2.2. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат прямой, заданной уравнением

Разделив это уравнение почленно на 21, получим

Или

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.7), заключаем, что Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Тангенс угла между двумя прямыми (рис. 2.3)

(2.9)

Вычисляется по формуле .

(2.10)

Необходимое и достаточное условие параллельности прямых, заданных уравнениями вида (2.9), выражается равенствомА условие их перпендикулярности - равенством

(2.11)

Если прямые заданы общими уравнениями то тангенс угла между ними определяется формулой

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Необходимое и достаточное условие параллельности прямых, заданных уравнениями (2.12) и (2.13), выражается равенством

(2.15)

Или

(2.16)

А условие их перпендикулярности - равенством

, или(2.17)

Отметим, что прямые

Перпендикулярны в силу

Пример 2.3. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями

Применяем формулу (2.14). Так как в данном случае То

Замечание. При другой нумерации прямых Получаем. Очевидно,

Пример 2.4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку И параллельной прямой Искомое уравнение имеет видГдеПока не определено. Вид

Уравнения следует из условия (2.1(5) при(считаем соответствующие коэффициенты равными). Чтобы найти значение, необходимо подставить координаты точки М в искомое уравнение (точка.Лежит на прямой, поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой). Подставляя координаты В уравнениеПолучаемОткуда

Таким образом, уравнение прямой имеет вид

Пример 2.5 Составить уравнение прямой, проходящей через точку И перпендикулярной прямой Искомое уравнение имеет видДействительно, для прямых вы

Полнено условие (2.17):, , ТочкаЛежит на прямой

Поэтому ее координаты должны удовлетворять этому уравнению: Отсюда находим, чтоИтак, уравнение прямой прини

Мает* вид

Пример 2.6. Вершины треугольника находятся в точках

Составить уравнение прямой, на которой лежит высота,

Опущенная из вершиныНа сторону,

Найдем сначала угловой коэффициент прямой, проходящей через точкиИ Считая точкуПервой, точкуВторой, т. е. полагая

По формуле (2.2) получаемПрямая, на кото

Рой лежит высота, опущенная из точкиНа сторонуБудет перпендикулярна прямой, проходящей через точкиИ. Угловой коэффициент этой прямой обозначим через. Используя условие перпендикулярности двух прямых, заданное

Формулой (2.11), находим

Составим уравнение прямой, проходящей через точкуИ имеющей

Заданный угловой коэффициент, Подставляя значения В уравнение (2.4), получаем

Расстояние от точки до прямой. Уравнения биссектрис углов мзду двумя прямыми. Расстояние от точкиДо прямойВычис

Ляют по формуле

(2.18)

Уравнения биссектрис углов между прямыми Имеют вид

(2.19)

Пример 2.7. Найти расстояние от точкиДо прямой, заданной

Уравнением*

Воспользуемся формулой (2.18). Так как в данном случае То

Пример 2.8. Дан треугольник с вершинами . Найти длину высоты, опущенной из точки Задача сводится к вычислению расстояния от точкиДо прямойЗапишем уравнение этой прямой. На основании уравнения (2.5) имеемИли Расстояние точкиДо этой прямой вычислим по формуле (2.18)

Следовательно, длина высоты равна

Замечание. Эту задачу можно решить и другими способами. Например, длину искомой высоты можно вычислить, зная площадь треугольникаИ длину основанияЭта же длина равна расстоянию между двумя точкамиИ(-основание высоты, опущенной из точкиНа). В свою очередь координатыточки Находятся в результате решения системы уравнений стороныИ высоты

Пример 2.9. Составить уравнения биссектрис углов, образованных прямыми

В соответствии с формулой (2.19) получаем

Преобразуя эти уравнения, находим

Отсюда получаем уравнения биссектрис

Задачи, относящиеся к прямым. Рассмотрим примеры решения задач, в условиях которых даны уравнения прямых.

Пример 2.10. Даны уравнения двух сторон параллелограмма ИИ уравнение одной из диагоналейНайти

Координаты вершин параллелограмма.

Решая систему уравненийНаходим точку

— одну из вершин параллелограмма. Две другие вершины найдем как точки пересечения данной диагонали со сторонами, т. е. определим их координаты из систем уравненийЭто будут