03. Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому

Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной. Такую возможность дают Признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах. Эти признаки (критерии) сходимости или расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций во многом схожи, так как при некоторых допущениях на подынтегральную функцию несобственный интеграл второго рода (от разрывных функций) с помощью замены переменной можно привести к несобственному интегралу первого рода (по бесконечному промежутку ) и, наоборот, свести несобственный интеграл первого рода к несобственному интегралу второго рода.

Пусть в несобственном интеграле второго рода подынтегральная функция Непрерывна при Точка есть особая точка, где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв или вовсе не определена. Тогда согласно определению несобственного интеграла от разрывной функции (формула (2)) имеем: (*) . Сделаем замену переменной: пусть , , ; если , то ; если , то ; . Левую часть равенства (*) Выражаем через новую переменную: (**) . Если интеграл сходится, то существует конечный предел: . Из равенства (**) следует, что и для интеграла существует конечный предел: . Итак, можно сказать, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку влечёт сходимость несобственного интеграла от разрывной функции , , причём имеет место и равенство этих интегралов.

Преобразование несобственного интеграла по бесконечному промежутку в несобственный интеграл от разрывной функции можно осуществить также с помощью замены переменной. Пусть имеем: . Сделаем замену переменной: , ; если , то ; если , то . Итак, имеем: , то есть получаем интеграл от разрывной функции в точке .

Приведём пример, где вычисление несобственного интеграла от разрывной функции осуществляется путём перехода к несобственному интегралу по бесконечному промежутку и далее с помощью интегрированию по частям получается окончательный результат. Итак, вычислим несобственный интеграл, от разрывной функции: . Решение. Так как , то имеем: . Сделаем замену переменной: пусть , тогда , ; если , ; если , . Далее, имеем: . Теперь проводим интегрирование по частям: , ; , ; , так как .

< Предыдущая		Следующая >