2.3. Исследование на устойчивость по первому приближению

Пусть исследуется на устойчивость точка покоя системы

(4.1)

(т. е. предполагается ).

Пусть – дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки . Для системы (4.1) составим уравнения первого приближения в окрестности начала координат.

(4.2),

Где . (Здесь учтено, что ).

Исследование на устойчивость точки покоя (4.2) вместо исследования на устойчивость точки покоя (4.1) называется исследованием на устойчивость по первому приближению.

Справедливы следующие теоремы:

I. Если все корни характеристического уравнения системы (4.2) имеют отрицательную вещественную часть , то точка покоя системы (4.1) асимптотически устойчива.

II. Если хотя бы один корень характеристического уравнения системы (4.2) имеет вещественную положительную часть, то точка покоя системы (4.1) неустойчива.

Замечание. Если среди корней характеристического уравнения (4.2) есть корни с отрицательной вещественной частью и нулевые или чисто мнимые, то исследование на устойчивость системы (4.2) не дает ответа на вопрос об устойчивости точки покоя системы (4.1).

Указанные выше теоремы I и II дают возможность решать задачу об устойчивости точки покоя системы (4.1) на основе исследования более простой системы (4.2).

Решение примеров. Исследовать на устойчивость точку покоя .

6.

Теоремы I и II применимы.

Здесь , ее дифференциал в точке равен , ее дифференциал .

Уравнения первого приближения:

Один корень положительный, следовательно, точка покоя неустойчива.

7.

Теоремы I и II применимы, т. к. дважды (и более) непрерывно дифференцируемы.

Уравнения первого приближения

Все корни отрицательные. Точка покоя асимптотически устойчива.

< Предыдущая		Следующая >