2.1 Точки покоя системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему

(2.1)

Если точка удовлетворяет условиям , то

Есть решение рассматриваемой системы, при этом точку называют точкой покоя этой системы.

Будем рассматривать однородную систему двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами

(2.2)

Точка , очевидно, точка покоя этой системы. Составим характеристический определитель системы

Его корни определяют вид решений и устойчивость точки покоя. Если корни имеют отрицательные вещественные части, то точка покоя устойчива асимптотически.

Если корни чисто мнимые, т. е. , то точка покоя устойчива, но не асимптотически.

Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть , то точка покоя неустойчива. Если один корень нулевой, а другой отрицательный, то точка покоя устойчива, но не асимптотически. Если два нулевых корня, то точка может быть как устойчивой не асимптотически, так и неустойчивой.

Наиболее наглядно устойчивость и неустойчивость точки покоя проявляется при рассмотрении фазовых траекторий системы (2.2).

Фазовая траектория системы (2.2) есть кривая на плоскости , задаваемая функциями есть решение системы (2.2). На этой кривой обычно стрелками указывают движение точки при возрастании . В зависимости от корней характеристического уравнения различают следующие точки покоя:

1) если корни вещественные отрицательные, то точку покоя называют устойчивым узлом (рис. 2.2).

2) если корни вещественные положительные, точку покоя называют неустойчивым узлом (рис. 2.3).

3) Если корни вещественные разного знака, то точку покоя называют седлом (рис. 2.4).

4) Если корни комплексные, то при положительных вещественных частях точка покоя есть неустойчивый фокус, при отрицательных – устойчивый фокус (рис. 2.5 и 2.6 соответственно).

5) Если корни чисто мнимые, то точка покоя называется центром (устойчива не асимптотически) (рис. 2.7).

Фазовые траектории вблизи различных точке покоя показаны на рис. 2.2 – 2.7. следует отметить, что для асимптотически устойчивой точки покоя все фазовые траектории при стремятся к началу координат. В случае неасимптотической устойчивости (центр) фазовые траектории для всех находятся в ограниченной окрестности начала координат. Для неустойчивой точки покоя существуют траектории, начинающиеся сколь угодно близко к началу и со временем неограниченно удаляющиеся.

< Предыдущая		Следующая >