2. Устойчивость по Ляпунову, точки покоя системы двух линейных уравнений. . Определение устойчивости

Пусть – решение уравнения , определяемое для всех , с начальным значением . Оно называется устойчивым по Ляпунову, если для такое, что все решения , удовлетворяющие при Условию , для всех существуют и удовлетворяют неравенству .

Решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, существует

Разберем на конкретном примере свойство устойчивости решения и условия, входящие в его определение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли.

Легко проверить, что его общее решение будет иметь вид

Иначе можно записать так:

1) При начальном условии

2) При

На Рис. 2.1 показаны интегральные кривые в области . Жирными линями отмечены решения, исследуемые на устойчивость.

Рис. 2.1

Задача 1. Исследовать на устойчивость решение с начальным значением :

.

Это решение определено для всех и поэтому вопрос об устойчивости не лишен смысла.

Пусть , тогда все решения с такими начальными условиями

Определены для всех .

Составим разность

Здесь учтено, что . Из последующего вытекает, что если и , то для всех .

Следовательно, задавшись любым , надо взять .

Тогда для всех будем иметь, что и .

Более точно:

Таким образом исследуемое решение устойчиво.

Кроме того, так как .

Поэтому решение также и асимптотически устойчиво. Наличие асимптотической устойчивости хорошо видно на рис.2.1, так как все решения с начальными условиями асимптотически приближаются к .

Задача 2. Для того же уравнения исследовать на устойчивость тривиальное решение .

Возвратимся к формуле

Легко заметить, что при решение определено не для всех , так как при знаменатель обращается в нуль, поэтому при .

Так как отрицательное значение можно взять сколь угодно близким к , то заключаем, что не существует окрестность точки , для которой все решения уравнения существовали бы для всех .

Решение неустойчиво.

Ра рис. 2.1 это можно наглядно проиллюстрировать: решения с отрицательными начальными значениями, начинающиеся сколь угодно близко от , неограниченно удаляются от , а неограниченно возрастает при .

< Предыдущая		Следующая >